Часто використовуються такі наслідки з обох чудових меж:
aГЋR;
,,
Нескінченно малі функції
Функція a (x) називається нескінченно малою при х В® х0, якщо
Якщо функція f (x) має межу, рівний А, то її можна представити як суму числа А і нескінченно малою функції a (х), тобто якщо те
f (x) = A + a (x).
Нехай a (х) і b (х)-нескінченно малі функції при х В® х0. Тоді, якщо те a (х) і b (х) називаються еквівалентними нескінченно малими, що позначається так: a (х) ~ b (х), х В® х0. p> При вирішенні багатьох задач використовуються наступні еквівалентності, вірні при х В® 0:
Sinx ~ x, +1-Cosx ~, tgx ~ x, arcsinx ~ x, ln (1 + x) ~ x, ~ x.
Нескінченно більші функції
Функція f (x) називається нескінченно великою при х В® х0, якщо для будь-якого числа М> 0 існує число d = d (М)> 0, що для всіх х, що задовольняють нерівності 0 < М. Записують або f (x) В® ВҐ при х В® х0. br/>
ТЕМА 5. Безперервність функції однієї змінної
Безперервність функції в точці
Функція f (x) називається безперервної в точці х0, якщо вона визначена в деякій околиці цієї точки і
В
Якщо позначити х - х0 = D х (приріст аргументу), f (x) - f (x0) = D y (приріст функції, відповідне приросту аргументу D < span align = "justify"> х), то це визначення можна записати в еквівалентній формі.
Функція f (x) називається безперервної в точці х0, якщо вона визначена в деякій околиці цієї точки і
В
Таким чином, якщо функція f (x) неперервна в точці x0, те нескінченно малому приросту аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.
Безперервність функції на проміжку
Функція f (x) називається безперервної на даному проміжку (інтервалі, напівінтервалі, відрізку), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.
Одностороння неперервність
Функція f (x) називається безперервної зліва в точці х0, якщо вона визначена на деякій напівінтервалі (а; х0 ] і
В
Функція f (x) називається безперервної праворуч в точці х0, якщо вона визначена на деякій напівінтервалі [ х0; в ) і
В
Функція f (x) неперервна в точці х0 тоді і тільки тоді, коли вона неперервна зліва і справа в цій точці, тобто коли
В
Точки розриву функції
Точка х0 називається точкою розриву функції f (x), якщо f (x) не є неперервною в цій точці, причому:
а) якщо обидва односторонніх межі і кінцеві, але не рівні між собою, то х0-точка розриву першого роду;
б) якщо обидва односторонніх межі і кінцеві, рівні між собою, але не рівні f (x0), то х0 - точка усувного розриву першого роду;
в) якщо хоча б один з односторонніх меж чи нескінченний, чи не існує то х0 - точка розриву другого роду.
Властивості функцій, неперервних в точці
1. Якщо f (x) і g (x) неперервні в точці х0, то функції f (x) В± g (x); f (x) . g ( x); і f (x)/g (x) (якщо g (x) В№ 0) також безперервні в точці х0.
2. Якщо функція u (x) неперервна в точці х0, а функція f (u) неперервна в точці u0 = u (x0), те складна функція f ( u (x)) неперервна в точці х0.
Всі елементарні функції неперервні в кожній точці своїх областей визначення.
Властивості функцій, неперервних на відрізку
Теорема (Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на відрізку, то вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого і найменшого значень. p align="justify"> Слідство. Якщо функція неперервна на відрізку, то вона обмежена у цьому відрізку. p align="justify"> Теорема (Больцано - Коші). Якщо функція y = f (x) неперервна на відрізку [ а; в ] і приймає на його кінцях нерівні значення f (a) = A і f (в) = В, то на цьому відрізку вона приймає і всі проміжні значення між А і В. ...
