2 = | f "( x ) | В
Приклад 5.1.
Обчислимо значення інтеграла за формулою середніх прямокутників (5.3) з кроком h = 0.1. p> Складемо таблицю значень функції e (табл. 5.1):
Таблиця 5.1
x
e
x
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
1.0000000
0.9975031
0.9900498
0.9777512
0.9607894
0.9394131
0.9139312
0.8847059
0.8521438
0.8166865
0.7788008
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
0.7389685
0.6976763
0.6554063
0.6126264
0.5697828
0.5272924
0.4855369
0.4448581
0.4055545
0.3678794
Виробляючи обчислення за формулою (5.3), отримаємо:
В
I пр = 0.74713088.
Оцінимо похибка отриманого значення. Маємо:
f "( x ) = ( e )" = (4 x 2 - 2) e.
Неважко переконатися, що | f "( x ) | ВЈ M 2 = 2. Тому за формулою (5.4)
| I - I пр | ВЈ (0.1) 2 В»0.84 Г— 10 -3 . p> 5.3 Метод трапецій
Виведемо формулу трапецій так само, як і формулу прямокутників, з геометричних міркувань. Замінимо графік функції y = f ( x ) (рис.5.1) ламаної лінією (рис.5.7), отриманої таким чином. З точок a = x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n = b проведемо ординати до перетину з кривою y = f ( x ). Кінці ординат з'єднаємо прямолінійними відрізками.
В
Рис. 5.7
Тоді площа криволінійної трапеції наближено можна вважати рівною площі фігури, складеної з трапецій. Так як площа трапеції, побудованої на відрізку [ x i , x i + 1 ] довжини h =, дорівнює h , то, користуючись цією формулою для i = 0, 2, ..., n - 1, отримаємо квадратурної формули трапецій:
I = В» I тр = h = (5.7)
Оцінка похибки. Для оцінки похибки формули трапецій скористаємося наступною теоремою.
Теорема 5.2. Нехай функція f двічі безперервно дифференцируема на відрізку [ a, b ]. Тоді для формули трапецій справедлива наступна оцінка похибки:
| I - I тр | ВЈ h 2 , (5.8)
де M 2 = | f "( x ) |. <В
Приклад 5.2.
Обчислимо значення інтеграла за формулою трапецій (5.7) і порівняємо отриманий результат з результатом прикладу 5.1. p> Використовуючи таблицю значень функції e з прикладу 5.1 і виробляючи обчислення за формулою трапецій (5.7), отримаємо: I тр = 0.74621079. p> Оцінимо похибка отриманого значення. У прикладі (5.1) отримали оцінку: | f "( x ) | ВЈ M 2 = 2. Тому по формулою (5.8)
I - I тр | ВЈ (0.1) 2 В»1.7 Г— 10 -3 . br/>
Порівнюючи результати прикладів 5.1 і 5.2, бачимо, що метод середніх прямокутників має меншу похибку, тобто він більш точний.
5.4 Метод Сімпсона (метод парабол)
Замінимо графік функції y = f ( x ) на відрізку [ x i , x i + 1 ], i = 0, 2, ..., n - 1, параболою, проведеної через точки ( x i , f ( x i )), ( x, f ( x )) , ( x i + 1 , f ( x i + 1 )), де x - середина відрізка [ x i , x i + 1 ]. Ця парабола є інтерполяційний многочлен другого ступеня L 2 ( x ) з вузлами x i , x, x i + 1 . Неважко переконатися, що рівняння цієї параболи має вигляд:
В
y = L 2 ( x ) =
f ( x ) + ( x - X ) + ( x - x ) 2 , (5.9)
де
