p>
x i
1
2
3
4
5
y i
-1
1
2
4
6
P 1 ( x i )
-1
0.7
2.4
4.1
5.8
P 2 ( x i )
-1
0.62
2.24
4
6.9
Похибка наближення відповідно до формулами (4.24) і (4.32) складе
В
D 1 == 0.245.
D 2 == 0.084.
В
Тема 5. Чисельне інтегрування функцій однієї змінної
5.1 Постановка завдання чисельного інтегрування
Далеко не всі інтеграли можна обчислити за відомою з математичного аналізу формулі Ньютона - Лейбніца:
В
I = = F ( b ) - F ( a ) , (5.1)
де F ( x ) - Первообразная функції f ( x ) . Наприклад, в елементарних функціях не виражається за інтеграл. Але навіть у тих випадках, коли вдається висловити первообразную функцію F ( x ) через елементарні функції, вона може виявитися дуже складною для обчислень. Крім того, точне значення інтеграла за формулою (5.1) не можна отримати, якщо функція f ( x ) задається таблицею. У цих випадках звертаються до методів чисельного інтегрування. p> Суть чисельного інтегрування полягає в тому, що подинтегральную функцію f ( x ) замінюють інший наближеною функцією, так, щоб, по-перше, вона була близька до f ( x ) і, по друге, інтеграл від неї легко обчислювався. Наприклад, можна замінити подинтегральную функцію інтерполяційним многочленом. Широко використовують квадратурні формули :
В», (5.2)
де x i - Деякі точки на відрізку [ a, b ], звані вузлами квадратурної формули , A i - числові коефіцієнти, звані вагами квадратурної формули, n Ві 0 - ціле число.
5.2 Метод прямокутників
Формулу прямокутників можна отримати з геометричної інтерпретації інтеграла. Будемо інтерпретувати інтеграл як площа криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції y = f ( x ), віссю абсцис і прямими x = a і x = b (рис. 5.1).
В
Рис. 5.1
Розіб'ємо відрізок [ a, b ] на n рівних частин довжиною h, так, що h = . При цьому отримаємо точки a = x 0 1 2 <... n = b і x i + 1 = x i + h, i = 0, 1, ..., n - 1 (рис. 5.2)
В
Рис. 5.2
Замінимо наближено площа криволінійної трапеції площею ступінчастою фігури, зображеної на рис. 5.3. br/>В
Рис. 5.3
Ця фігура складається з n прямокутників. Підстава i -го прямокутника утворює відрізок [ x i , x i + 1 ] довжини h, а висота підстави дорівнює значенню функції в середині відрізка [ x i , x i + 1 ], т е. f (рис. 5.4). br/>В
Рис. 5.4
Тоді отримаємо квадратурної формули середніх прямокутників :
В
I = В» I пр = (5.3)
Формулу (5.3) називають також формулою середніх прямокутників. Іноді використовують формули
I В» I = , (5.4)
I В» I = , (5.5)
які називають відповідно квадратурними формулами лівих і правих прямокутників.
Геометричні ілюстрації цих формул наведені на рис. 5.5 і 5.6. br/>В
Рис. 5.5
В
Рис. 5. 6
Оцінка похибки. Для оцінки похибки формули прямокутників скористаємося наступною теоремою.
Теорема 5.1. Нехай функція f двічі безперервно дифференцируема на відрізку [ a, b ]. Тоді для формули прямокутників справедлива наступна оцінка похибки:
| I - I пр | ВЈ h 2 , (5.6)
де M...
