> h = .
Проінтегрував функцію (5.9) на відрізку [ x i , x i + 1 ], отримаємо
В
I i = В»= ( f ( x i ) + 4 f ( x ) + f ( x i + 1 )). (5.10)
Підсумовуючи вираз (5.10) по i = 0, 1, 2, ..., n - 1, отримаємо квадратурну формулу Сімпсона (або формулу парабол ) :
В
I = В» I З = ( f ( x 0 ) + F ( x n ) + 4 + 2). (5.11)
Оцінка похибки. Для оцінки похибки формули Сімпсона скористаємося наступною теоремою.
В
Теорема 5.2. Нехай функція f має на відрізку [ a, b ] неперервну похідну четвертого порядку f (4) ( x ). Тоді для формули Сімпсона (5.9) справедлива наступна оцінка похибки:
| I - I З | ВЈ h 4 , (5.12)
де M 4 = | F (4) ( x ) |. p> Зауваження. Якщо число елементарних відрізків, на які ділиться відрізок [ a, b ], парне, тобто n = 2 m, то параболи можна проводити через вузли з цілими індексами, і замість елементарного відрізка [ x i , x i + 1 ] довжини h розглядати відрізок [ x 2 i , x 2 i + 2 ] довжини 2 h. Тоді формула Сімпсона прийме вид:
I В»( f ( x 0 ) + f (< i> x 2 m ) + 4 + 2), (5.13)
а замість оцінки (5.10) буде справедлива наступна оцінка похибки:
| I - I З | ВЈ h 4 , (5.14)
В
Приклад 5.3.
Обчислимо значення інтеграла за формулою Сімпсона (5.11) і порівняємо отриманий результат з результатами прикладів 5.1 і 5.2. p> Використовуючи таблицю значень функції e з прикладу 5.1 і виробляючи обчислення за формулою Сімпсона (5.11), отримаємо:
I З = 0.74682418.
Оцінимо похибка отриманого значення. Обчислимо четверту похідну f (4) ( x ). br/>
f (4) ( x ) = (16 x 4 - 48 x 2 + 12) e , | f ( 4) ( x ) | ВЈ 12. p> Тому
| I - I З | ВЈ (0.1) 4 В»0.42 Г— 10 -6 . br/>
Порівнюючи результати прикладів 5.1, 5.2 та 5.3, бачимо, що метод Сімпсона має меншу похибка, ніж метод середніх прямокутників і метод трапецій.
5.5 Правило Рунге практичної оцінки похибки
Оцінки похибки за формулами (5.4), (5.8) і (5.12) є апріорними. Вони залежать від довжини елементарного відрізка h , і при досить малому h справедливо наближена рівність:
I - I h В» Ch k , (5.15)
де I h наближене значення інтеграла, обчислене по одній з формул (5.3), (5.5), (5.9), C В№ 0 і k > 0 - величини, які не залежать від h . p> Якщо зменшити крок h в два рази, то, відповідно до (5.15) отримаємо:
I - I h/ 2 В» Ch k В» ( I - I h ). (5.16)
Безпосереднє використання оцінок похибки (5.4), (5.8) і (5.12) незручно, тому що при цьому потрібно обчислення похідних функції f ( x ). У обчислювальної практиці використовуються інші оцінки. p> Віднімемо з рівності (5.15) рівність (5.16):
I h/ 2 - I h В» Ch k (2 k - 1). (5.17)
Враховуючи наближена рівність (5.16), отримаємо наступне наближене рівність:
I - I h/ 2 В». (5.18)
Наближене рівність (5.18) дає апостеріорну оцінку похибки. Обчислення цієї оцінки називається правилом Рунге. Правило Рунге - це емпіричний спосіб оцінки похибки, заснований на порівнянні результатів обчислень, проведених з різними кроками h .
Для формул прямокутників і трапецій k = 2, а для формули Сімпсона k = 4. Тому для цих формул наближена рівність (5.18) приймає вигляд:
I - I пр В», (5.19)
I - I тр В», (5.20)
I - I З В». (5.21)
Використовуючи правило Рунге, можна побудувати процедуру наближеного обчисле...
