шого рівняння отримуємо, звідки.
Перевірка показує, що обидва знайдених значення і є корінням рівняння (1).
Додаток 2
Рішення завдання з ЄДІ і «нестандартного рівняння»
Приклад: Знайдемо всі значення, при яких рівняння
. (1)
має єдиний корінь.
Рішення:
Перетворимо рівняння до виду.
Далі отримуємо, звідки
. (2)
Рівняння (1) має єдиний корінь у таких випадках:
1) рівняння (2) має єдиний корінь і цей корінь задовольняє рівнянню (1);
2) рівняння (2) має два корені, але з цих коренів один є стороннім для рівняння (1).
Розглянемо перший випадок. Рівняння (2) має один корінь, якщо його дискримінант D дорівнює нулю. Маємо
.
при або при. Випадок, коли, відпадає, так як при права частина рівняння (1) не визначено. Якщо, то з рівняння (2) знаходимо - єдиний корінь рівняння (2) і, як показує перевірка, задовольняє і рівнянню (1).
Розглянемо другий випадок, коли. У цьому випадку рівняння (2) має два корені:
.
Щоб знайдені корені були корінням рівняння (1), необхідно і достатньо, щоб вони задовольняли нерівності. Значить, із знайдених коренів рівняння (2) один буде коренем рівняння (1), а інший не буде коренем цього рівняння тоді і тільки тоді, коли
або
де,.
Вирішимо першу систему. Маємо:
звідки маємо, то є.
Вирішимо друге систему. Маємо:
Ця система не має рішень, тому що або, або, тобто або перше, або друге нерівність останньої системи не має рішень. Отже, другий випадок має місце при.
Остаточно отримуємо, що рівняння (1) має єдиний корінь, якщо або якщо.
При наявності часу на уроках рекомендується розглянути так звані «нестандартні рівняння". Наведемо приклад такого рівняння:
Приклад: Вирішити рівняння
. (1)
Рішення:
Помітивши, що, а, перепишемо рівняння (1) у вигляді
. (2)
Неважко показати, що. Для цього достатньо переписати це нерівність у вигляді і скористатися нерівністю, якщо. У той же час. Справді,, а (тоді в силу убування функції).
Отже, ліва частина рівняння (2) не менше ніж 2, а права не більше як 2, значить, кожна з них дорівнює 2, тобто ми приходимо до системи рівнянь
або
З другого (більш простого) рівняння системи отримуємо. Тоді перше рівняння системи приймає вигляд, звідки.
