Нові результати Лейбніца досить різноманітні. Деякі з них відносяться до техніки дифферен-цірованія. Так, в В«Новому методі ...В» 1684 диференціюються тільки алгебраїчні функції, раціональні та ірраціональні, і, в неявному вигляді, логарифм, а в 90-ті роки Лейбніц, можна сказати, мимохідь в різних роботах вказує диференціали синуса і арксинуса, функції виду u v , де підстава і показник ступеня - функції незалежного змінного, вводить диференціювання по параметру. Пізніше Лейбніц дає носить його ім'я формулу для диференціала будь-якого порядку від твору функцій. Можна сказати, що на цій стадії операція диференціювання у Лейбніца охопила весь запас відомих тоді функцій.
Інша група результатів Лейбніца відноситься до диференціальної геометрії. Один з найбільш существен-них - введення обвідної сімейства плоских кривих, залежних від деякого параметра. p> У третю групу можна об'єднати результати з інтегрального числення. Крім формул, представляють собою звернення згаданих формул диференціювання, Лейбніц дав дві роботи про інтегрування раціональних дробів (1701 і 1703 рр..). У першій з них він припустився помилки, зробивши висновок, що за наявності комплексних коренів у знаменника раціональної дробу з дійсними коефіцієнтами інтегрування має запровадити нові трансцендентні функції, крім зворотних кругових і логарифмів. Коли ж І. Бернуллі зазначив правильний результат, Лейбніц з ним не погодився і повторив своє помилковий висновок у другій роботі. Ця помилка Лейбніца - не тільки математичний недогляд, вона має цікаві коріння. Твердження, що інтеграли виду
,
дають нові трансцендентні функції здавалося йому і привабливим і правдоподібним ще тому, що це відповідало лейбніцевой метафізиці. Якби всі ін-теграли такого виду зводилися, як висловлюється Лейбніц, тільки до квадратурі гіперболи (Тобто логарифмам) і до квадратурі кола (до зворотних круговим функціям), то все було б одноманітно. В«Але природа, мати вічного різноманітності, або, краще сказати, божественний дух занадто чіпко оберігає свою прекрасну багатоликість, щоб допустити злиття всього в одну породу. І таким чином він знаходить витончений і дивовижний вихід в цьому чуді аналізу, цьому побічну породженні світу ідей, двоїстий істоту як би між буттям і небуттям, що ми називаємо уявним коренем. І тому щоразу, коли знаменник раціонального дробу має уявні корені, що може вийти нескінченно багатьма способами, буде уявної і гіпербола, квадратура якої нам потрібна, і її жодним чином не можна буде побудувати В». p> Від Лейбніца НЕ вислизнуло і те, що інтеграл можна розглядати як диференціал з показником -1, і це привело його до введення диференціалів будь-яких негативних і дробових порядків за допомогою нескінченних рядів. Теорію інтегралів і похідних дробового порядку розвивали у XVIII ст. Ейлер, в XIX ст. - Ліувіл', Ріман, Лєтніков, в XX в. - Г. Вейль, М. Рис та ін, і зараз вона становить один з розділів аналізу. Лейбніц ж перший у пр...
