враховуючи, що
складаючи ліві і праві частини, отримаємо зліва шуканий інтеграл, праворуч його наближене значення:
або
(7)
Це і є формула Сімпсона. Тут число точок ділення довільно, але чим це число більше, тим точніше сума в правій частині рівності (6) дає значення інтеграла. Формула Сімпсона дає найточніше значення інтеграла (з класичних формул наближеного інтегрування), похибка для цього методу знаходиться за формулою:
де
Б) Без використання парабол
Рис. 8
У тих випадках, коли лінія між і мало вигнута, інтеграл наближено виражається досить простою формулою. Будемо вважати позитивною і шукати площа криволінійної трапеції aABb. Для цього розділимо відрізок [a; b] точкою
навпіл і в точці проведемо дотичну до лінії. Після цього розділимо [a, b] точками p і g на 3 рівні частини і проведемо через них прямі і. P і Q - точки перетину прямих з дотичній. Поєднавши AP і BQ, отримаємо 3 прямолінійні трапеції aAPp, pPQq, qQBb. Сума площ цих трапецій дорівнює буде приблизно дорівнює площі криволінійної трапеції aABb:
Позначимо: Aa, Pp, qQ, bB - підстави трапецій;
- висота трапецій, в даному випадку число n строго задано n=3
Отримуємо:
(8)
Позначимо, що:,. Відрізки pP і qQ не є ординатами точок лінії, так як P і Q лежать на дотичній. Але нам потрібна сума цих відрізків, яка виражається через середню лінію трапеції і дорівнює напівсумі її оснований, звідки
.
Значить. Формула (8) приймає вигляд:
(9)
Ця формула називається малою формулою Сімпсона.
Рис. 9
Мала формула Сімпсона придатна, коли графік підінтегральної функції мало зігнутий, наприклад, для випадку, зображеного на малюнку, застосовувати малу формулу вже не можна, так як вона дає значення 0 на [a, b]. Але якщо відрізок [a, b] розбити на частини [a, c] і [c, b] і до кожного з них застосувати формулу (9), то вийде прийнятний результат.
Ця ідея лежить в основі виведення «великий» формули Сімпсона.
Для обчислення інтеграла виберемо якесь парне число і розкладемо [a, b] на n рівних частин точками
Інтеграл представимо у вигляді суми
До кожного доданку праворуч застосуємо малу формулу Сімпсона. Враховуючи, що в кожному інтегралі довжина проміжку інтегрування, і покласти, то отримаємо:
Розкриємо дужки:
Це і є «велика формула Сімпсона». Її точність, також як і у всіх формул розглянутих вище, тим вище, чим більше n. Ця формула збігається з формулою (7), виведеної за допомогою парабол. Для оцінки похибки формули Сімпсона використовується формула:
метод парабола інтеграл МatLAB
Якість цієї формули краще, ніж формули трапеції і прямокутників, так як при одному і тому ж n вона дає більшу точність.
2. Дослідження моделі
Загальний вигляд інтеграла, рішення якого, буде розглянуто:
Задані значення:
,,,
Підставивши задані значення, отримуємо:
Т.е. отримуємо інтегральне представлення числа Пі.
2.1 Програма для обчислення інтеграла
Програма для обчислення значення інтеграла методом трапецій в середовищі пакету Matlab:
function y=int_trapezoidal (n, a, b) (mod (n, 2) ~=1)=(ba)/n;=a: h: b;=0; i=1: n/2= s + f (x (2 * i - 1)) + 2 * f (x (2 * i)) + f (x (2 * i + 1));=s * h/2;=3.051757810013100e - 005 ;
disp ( Кількість елементарних відрізків: ), disp (n) ( Результат: ), disp (y) ( Похибка: ), disp (erf) disp ( Введіть парне число! )
endy=f (x)
y=4/(1 + x ^ 2);
Цикл if відповідає за те, що якщо користувач введе число n елементарних відрізків не кратна двом, програма виведе на екран повідомлення:
Введіть парне число!
Рис. 10
Цикл for - це основна складова програми для даного методу. Тут підсумовується площі трапецій, на які розбивається наша площа під кривою.
Похибка erf3.0517e - 005 була отримана як різниця результатів з n=64 і n=128 елементарними відрізками.
Таблиця отриманих результатів
n, колі-під ел. отрезковЗначеніе интеграла23.10000000000000043.13117647058823583.138988494491089163.140941612041389323.141429893174975643.1415519634856531283.141582481063753
Навіть при n=128 відповідь є точним лише до п'ятого знака після коми (= +3,141592653589793 - точне значення числа пі для 15 знаків після коми).
<...
