явні однокрокові методи будемо записувати також у вигляді
. (1.28)
Явні методи типу Рунге-Кутта
Ідея даного методу полягає в обчисленні наближеного рішення y1 у вузлі x0 + h у вигляді лінійної комбінації з постійними коефіцієнтами [6, 7]:
(1.29)
Числа вибираються так, щоб розкладання виразу (1.29) за ступенями h збігалося з розкладанням в ряд Тейлора:
, (1.30)
,,.
Це еквівалентно наступному. Якщо ввести допоміжну функцію
, (1.31)
то її розкладання за ступенями h повинно починатися з максимально можливою мірою:
. (1.32)
Якщо можна визначити ці постійні так, щоб розкладання мало вигляд (1.32), то кажуть, що формула (1.29) з вибраними коефіцієнтами має порядок точності s.
Величина
(1.33)
називається похибкою методу на кроці, або локальної похибкою методу, а перший доданок у виразі (1.32)
(1.34)
називається головним членом локальної похибки методу.
Доведено, що якщо q=1, 2, 3, 4, то завжди можна вибрати коефіцієнти так, щоб отримати метод типу Рунге-Кутта порядку точності q. При q=5 неможливо побудувати метод типу Рунге-Кутта (1.29) п'ятого порядку точності, необхідно брати в комбінації (1.29) більше п'яти членів.
Дослідження кінетики гомогенних хімічних реакцій
Дослідження кінетичних закономірностей протікання хімічної реакції методом математичного моделювання полягає у визначенні зміни концентрацій реагуючих речовин в часі при заданій температурі.
Нехай протікають хімічні реакції
.
На підставі закону діючих мас запишемо рівняння швидкості хімічної реакції і складемо кінетичну модель:
;
;
;
;
;
, (1.35)
де СА, СВ, СС, СD - концентрації речовин, моль/л;
ki - константа швидкості i-й хімічної реакції першого порядку, з - 1; (для реакцій другого порядку розмірність константи; для реакцій третього порядку розмірність константи); - швидкість i-й хімічної реакції, моль/л? с; t - час реакції, с.
Рис. 1.2. Блок-схема розрахунку кінетики гомогенної хімічної реакції методом Ейлера
Систему звичайних диференціальних рівнянь першого порядку (1.35) можна вирішити з використанням чисельного методу Ейлера, алгоритм якого записується по рівнянню (1.24).
Блок-схема розрахунку кінетики гомогенної хімічної реакції методом Ейлера наведена на рис. 1.2.
Приклади програм розрахунку кінетики гомогенних хімічних реакцій наведені у Додатку А. Результати дослідження на математичній моделі (1.35) впливу температури на ступінь перетворення вихідного реагенту і на концентрацію речовин представлені на рис. 1.3, 1.4.
Отримані результати дозволяють зробити висновок про оптимальний час проведення процесу з метою отримання цільового продукту. Математична модель (1.35) також дозволяє досліджувати вплив складу сировини на вихід продуктів реакції.
Необхідно враховувати, що швидкість хімічної реакції залежить від температури, тому, щоб використовувати кінетичну модель (1.35) для дослідження процесу при різних температурах, необхідно ввести залежність константи швидкості хімічної реакції від температури по рівнянню Арреніуса (1.9).
Алгоритм методу Рунге-Кутта четвертого порядку можна записати наступним чином:
, (1.36)
де ai - коефіцієнти Рунге-Кутта, які розраховуються за такими формулами:
; (1.37)
Література
кінетика хімічний гомогенний
1. Панченков Г. М., Лебедев В. П. Хімічна кінетика і каталіз.- М .: Хімія, 1985. - 589 с.
. Яблонський Г. С., Биков В. І., Горбань А. І. Кінетичні моделі каталітичних реакцій.- Новосибірськ: Наука, 1983. - 254 с.
. Кафаров В. В. Методи кібернетики в хімії та хімічній технології.- М .: Хімія, 1988. - 489 с.
. Кравцов А. В., Новиков А. О., Коваль П. І. Методи аналізу хіміко- технологічних процесів.- Томськ: вид-во ТПУ, 1994. - 76 с.
. Кафаров В. В., Глєбов М. В. Математичне моделювання основних процесів хімічних виробництв.- М .: Вища. шк., 1991. - 400 с.
. Мойзес О. Є., Коваль П. І., Баженов Д. А., Кузьменко Є. А. Інформатика: навч. посібник. У 2-х ч. - Томськ, 1999. - 150 с.
. Турчак Л. І. Основи чисельних методів.- М .: Наука, 1987. - 320 с.
. Офіцерів Д. В., Старих В. А. Програмування в інтегрованому середовищі Турбо-Паскаль.-...
