я будь-якого дійсного числа lt; # 9 src= doc_zip90.jpg / gt; виконано наступне рівність:
де - основа натурального логарифма lt; # 6 height= 14 src= doc_zip93.jpg / gt;- Уявна одиниця.
Формула Ейлера надає зв'язок між математичним аналізом lt; # 43 src= doc_zip94.jpg / gt;
Вищевказані рівняння можуть бути отримані шляхом додавання або віднімання формул Ейлера:
з наступним рішенням щодо синуса або косинуса.
Також ці формули можуть служити визначенням тригонометричних функцій комплексної змінної. Наприклад, виконуючи підстановку x=iy, отримуємо:
5. Рішення простих тригонометричних рівнянь
Якщо - дійсних розв'язків немає.
Якщо - рішенням є число виду
Якщо - дійсних розв'язків немає.
Якщо - рішенням є число виду
Рішенням є число виду
Рішенням є число виду
6. Тригонометричні формули
Основні тригонометричні тотожності.
sin? ? + Cos? ? =1? · Ctg? =1
tg? =Sin? ? cos ?? =Cos? ? sin?
1 + tg? ? =1? cos? ?
1 + ctg? ? =1? sin? ?
Формули додавання.
(? +?)=sin? · Cos? + Sin? · Cos?
sin (? -?)=sin? · Cos?- Sin? · Cos?
cos (? +?)=cos? · Cos?- Sin? · Sin?
cos (? -?)=cos? · Cos? + Sin? · Sin?
tg (? +?)=(tg? + tg?)? (1 - tg? · Tg?)
tg (? -?)=(tg? - tg?)? (1 + tg? · Tg?)
ctg (? +?)=(ctg? · ctg? + 1)? (ctg? - ctg?)
ctg (? -?)=(ctg? · ctg? - 1)? (ctg? + ctg?)
Формули подвійного кута.
cos 2? =Cos? ?- Sin? ?
cos 2? =2cos? ?- 12? =1 - 2sin? ?
sin 2? =2sin? · Cos?
tg 2? =(2tg?)? (1 - tg??)
ctg 2? =(Ctg?? - 1)? (2ctg?)
Формули потрійного кута.
sin 3? =3sin?- 4sin? ? 3? =4cos? ?- 3cos? 3? =(3tg? - Tg??)? (1 - 3tg??) 3? =(3ctg? - Ctg??)? (1 - 3ctg??)
Формули пониження степеня.
sin? ? =(1 - cos 2?)? 2
sin? ? =(3sin? - Sin 3?)? 4
cos? ? =(1 + cos 2?)? 2
cos? ? =(3cos? + Cos 3?)? 4
sin? ? · Cos? ? =(1 - cos 4?)? 8
sin? ? · Cos? ? =(3sin 2? - Sin 6?)? 32
Перехід від добутку до суми.
? · Cos? =? (sin (? +?) + sin (? -?))
sin? · Sin? =? (cos (? -?) - cos (? +?))
cos? · Cos? =? (cos (? -?) + cos (? +?))
Перехід від суми до твору.
7. Сферична тригонометрія
Важливим окремим розділом тригонометрії, використовуваним в астрономії, геодезії, навігації та інших галузях, є сферична тригонометрія, яка розглядає властивості кутів між великими колами на сфері і дуг цих великих кіл. Геометрія сфери істотно відрізняється від евклідової планіметрії; так, сума кутів сферичного трикутника, взагалі кажучи, відрізняється від 180 °, трикутник може складатися з трьох прямих кутів. У сферичній тригонометрії довжини сторін трикутника (дуги великих кіл сфери) виражаються за допомогою центральних кутів, відповідних цим дугам. Тому, наприклад, сферична теорема синусів lt; # 42 src= doc_zip116.jpg / gt;
і існують дві теореми косинусів lt; # justify gt; 8. Застосування тригонометричних обчислень
Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії lt; # 150 src= doc_zip117.jpg / gt;
Приклад застосування тригонометрії
Секстант - навігаційний lt; # justify gt; Список використаних джерел
1.Інженерная математика: Джон Берд - Москва, Додека XXI, 2008 - 544 с. 2.Сферіческая тригонометрія: П. Кранц - Санкт-Петербург, ЛКІ, 2007 - 100 с.
.Аджіева А. Тригонометричні рівняння//математика. Додаток до газети «Перше вересня» №33,2011 г.
.Адрова І.А. , Ромашко І.В. Модульний урок в Х класі на тему «Рішення тригонометричних рівнянь»//математика в школе.2011. №4. С.28-32.
.Башмаков М.І. Алгебра і початки аналізу. 10-11. Навчальний посібник для 10-11 класів середньої школи. М.Просвещеніе, 1998.- 335 с .: ил
