бою суму незалежних випадкових величин, розподіл випадкової величини може бути підраховано за допомогою класичних теорем і методів теорії ймовірностей.
Насамперед - це використання згорток. Нагадаємо, що якщо і - дві незалежні невід'ємні випадкові величини з функціями розподілу і відповідно, то функція розподілу їх суми може бути підрахована за формулою
.
Застосовуючи цю формулу кілька разів, можна підрахувати функцію розподілу суми будь-якого числа доданків. Якщо випадкові величини і - неперервні, то зазвичай працюють з щільністю і. Щільність суми може бути підрахована за формулою
.
Якщо випадкові величини і - цілочисельні, то замість функцій розподілу зазвичай працюють з розподілами
.
Розподіл суми може бути визначено за формулою
.
Підрахунок ймовірності розорення часто спрощується, якщо використовувати виробляють функції та/або перетворення Лапласа.
Звичайно число застрахованих у страховій компанії дуже велике. Тому підрахунок ймовірності розорення передбачає розрахунок функції розподілу суми великого числа доданків. У цьому випадку точний безпосередній чисельний розрахунок може привести до проблем, пов'язаних з малістю ймовірностей. Однак обставина, що утрудняє точний розрахунок, відкриває можливість швидкого і простого наближеного розрахунку. Це пов'язано з тим, що при зростанні ймовірність часто має певну межу (зазвичай потрібно, щоб певним чином змінювалося разом с), який можна прийняти в якості наближеного значення цієї ймовірності. Точність подібних наближень зазвичай велика і задовольняє практичні потреби. Основним є нормальне (гаусівських) наближення.
Гаусове наближення засноване на центральній граничній теоремі теорії ймовірностей. У простій формулюванні ця теорема виглядає наступним чином: якщо випадкові величини незалежні і однаково розподілені із середнім і дисперсією, то при функція розподілу центрованої і нормованої суми
має межу, рівний
.
Існують численні узагальнення центральній граничної теореми на випадки, коли доданки мають різні розподілу, є залежними і т.д. Обмежимося твердженням, що якщо число доданків велике (зазвичай досить, щоб мало би порядок декількох десятків), а складові не дуже малі і не дуже різнорідні, то застосовно гауссовское наближення для ймовірності
.
Звичайно, це твердження дуже невизначено, а й класична центральна гранична теорема без точних оцінок похибки не дає ясної вказівки на сферу застосування. Стандартна гауссовская функція розподілу детально вивчена в теорії ймовірностей. Існують докладні таблиці як для самої функції розподілу, так і для щільності
.
Деякі значення наведені в таблиці 1.1.
Таблиця 1.1 - Значення функції
1,015,87%2,02,28%3,00,14%1,113,57%2,11,79%3,10,10%1,211,51%2,21,39%3,20,069%1,39,68%2,31,07%3,30,048%1,48,08%2,40,82%3,40,034%1,56,68%2,50,62%3,50,023%1,65,48%2,60,47%3,60,020%1,74,46%2,70,35%3,70,011%1,83,59%2,80,26%3,80,007%1,92,87%2,90,19%3,90,005%
Корисно також мати таблицю квантилів (квантиль визначається як корінь рівняння), що відповідають досить малу ймовірність розорення, вони також наведені в таблиці 1.2.
Таблиця 1.2 - Значення квантилів
0,1% 3,0903% 1,8810,5% 2,5764% 1,7511% 2,3265% 1,6452% 2,05410% 1,282
Фізичні та юридичні особи укладають договір страхування зі страховими компаніями для того, щоб позбутися від фінансових втрат, пов'язаних з невизначеністю настання тих чи інших випадкових подій. До укладення договору страхування клієнт мав деякий ризик, який міг призвести до випадковим втрат. Після укладення договору страхування, клієнт позбувся цього ризику. Іншими словами, клієнт йде на невеликі детерміновані витрати з тим, щоб позбутися випадкових втрат, які хоч і малоймовірні, але можуть бути катастрофічно великими для нього. Однак, сам ризик не зник - його прийняла на себе страхова компанія. Інша справа, що, маючи великий портфель договорів, страхова компанія забезпечує собі вкрай малу ймовірність розорення. Тим не менш, можливі дуже великі позови, які приведуть до розорення компанії. З цієї точки страхова компанія потрапляє в ту ж ситуацію, в якій спочатку (до укладення договорів страхування) знаходились її клієнти - існує небезпека фінансових втрат, пов'язана з невизначеністю пред'явлення дуже великих позовів.
Для вирішенн...
