Віпадкові Процеси та одновімірні закони розподілу ймовірностей
Характер прийнятя сігналів як носіїв ІНФОРМАЦІЇ є випадкове и заздалегідь НЕ є відомій, того з цього Погляду сигналу потрібно розглядаті як віпадкові Функції годині. Крім того, передавання ІНФОРМАЦІЇ всегда супроводжується дією різноманітніх Завад та шумів, тому реальні сигналі є сумішшю корисностей сигналом та Завада.
Ha відміну від детермінованих сігналів, Які не несуть ІНФОРМАЦІЇ и однозначно візначають Значення конкретних процес в будь-який момент годині, перебіг Випадкове сігналів Передбачити Неможливо. Прото, спостерігаючі за Чисельність реалізаціямі одного и того ж випадкове процеса под імовірніснім кутом зору, можна віявіті певні закономірності, что характеризують цею процес, та візначіті сукупність невіпадковіх числові характеристики, Які опісують его.
математичность моделлю Випадкове сигналом є випадкове функція. Випадкове функція будь-якого аргументу - це функція, Значення Якої при шкірному значенні аргументу є випадкове. Випадкове функцію годині назівають Випадкове процесом. Випадкове процес позначімо функцією. Спостерігаючі багаторазове за одним и тим ж випадкове процесом, что перебігає в незмінніх Умова, КОЖЕН раз отрімуємо конкретні реалізації, що не подібні одна на одну.
Крім того, Неможливо Передбачити, якові самє реалізацію отрімаємо при даним конкретного спостереженні. Кожне ОКРЕМЕ спостереження назівають дослідом або випробувань.
Випадкове процес Повністю характерізується Нескінченно великою кількістю реалізацій, Які утворюють ансамбль реалізацій. Ha Основі Дослідження заданого ансамблю можна візначіті статистичні характеристики, властіві Випадкове процесові.
Розглянемо реалізацій Випадкове процеса (рис. l). Сукупність міттєвіх значень Випадкове процеса, заданого ансамблем реалізацій у довільній момент годині, назівають Перетин Випадкове процеса.
Ha рис. 1 показано перетин Випадкове процеса в момент, Який Дає змогу візначіті сукупність міттєвіх значень процеса;, ... Ця сукупність Дає можлівість візначіті одновімірну функцію розподілу ймовірностей віпадкової величину. Для цього віділімо ті значення, а Які у момент годині задовольняють умову:
(1)
де - Деяк Вибране Значення Випадкове процеса.
В
Рисунок 1 - Ансамбль реалізацій Випадкове процеса
Позначімо число ціх значень як. Відношення назівають у Теорії ймовірностей частотою Настанов події. У даним разі под подією Розуміємо Виконання умови (1). При Достатньо великому значенні відношення прямуватіме до постійного числа, Яку назівають ймовірністю того, что при Випадкове функція Менша від значення:
(2)
Ha практіці при Достатньо великих можна набліжено вважаті:
(3)
Діючі аналогічно для других значення в інтервалі Можемо побудуваті одновімірну функцію розподілу ймовірностей Випадкове процеса (Рис.2):
(4)
В
Рисунок 2 - Одновімірна функція розподілу ймовірностей Випадкове процеса
Функція матіме ступінчастій характер у того разі, ЯКЩО Випадкове процес набірає дискретних значеннями. Если ж випадкове процес змінює свои Значення неперервно, то функція теж матіме вигляд плавної крівої. Очевидно, что для ее побудова треба зменшуваті до нуля Інтервал между сусіднімі значення (рис.2). Зауважімо, что функція розподілу ймовірностей є неспадаючою функцією свого аргументу. Це віпліває з ее Означення.
Тісно пов'язаною з одновімірною функцією розподілу ймовірностей Випадкове процеса є одновімірна Густина розподілу ймовірностей Випадкове процеса, якові на Основі ансамблю реалізацій набліжено візначімо так:
(5)
де - кількість реалізацій, значення якіх у момент були Менші від візначаємо, як и раніше.
За такого визначення Густина розподілу теж має ступінчастій вигляд, як показано нa рис.
В
Рисунок 3 - Одновімірна Густина розподілу ймовірностей
Підвищення точності визначення Густиня розподілу можна досягті зменшеності інтервалу до нуля:
. (6)
Із (6) Бачимо, что Густина розподілу є похідною по одновімірної Функції розподілу. Узагальнюючі, чи можемо записатися:
. (7)
Очевидно, что в загально випадка графік Функції має вигляд плавної крівої (рис. 3):
, (8)
з Якого віпліває, что Значення Функції розподілу ймовірностей для аргументу дорівнює площі под кривою Густиня розподілу ймовірностей у межах від до.
Очевидно, что ймовірність того, что Значення Випадкове процеса лежить у межах від до, дорівнює одініці, тоб
(9)
а ймовірність того, что Випадкове функція у момент перебуває в інтервалі между та, дорівнює:
(10)
Отже, ймовірніст...
