ність спільного розподілу X, Y визначається формулою:
(4)
- математичне очікування X;
- математичне очікування Y;
- дисперсія X;
- дисперсія Y;
коефіцієнт кореляції між X, Y.
б) Коефіцієнт кореляції як міра тісноти стохастичною зв'язку між двома випадковими величинами
З умови нормальності спільного розподілу ознак X, Y безпосередньо випливає, що розподіл кожного їх них також підпорядковане закону Гаусса з відповідними параметрами:
; (5)
. (6)
Якщо?=0, то з виразів, які задають двовимірну та одномірні щільності розподілу ймовірностей,, випливає, що, тобто X, Y є незалежні між собою випадкові величини.
Для випадкових величин X, Y, спільний розподіл яких є нормальним, поняття некоррелірованні і стохастична незалежність еквівалентні.
Таким чином, для розв'язуваної задачі коефіцієнт кореляції? може служити мірою сили стохастичною взаємозв'язку даних випадкових величин.
Поза рамками кореляційної моделі рівність нулю коефіцієнта кореляції вказує лише на некоррелірованні вихідних змінних, але не підтверджує відсутність іншої форми стохастичної залежності.
Коефіцієнт кореляції не має розмірності і, отже, його можна використовувати при аналізі залежності ознак, що розрізняються за мірним шкалами.
Значення? за абсолютною величиною не перевищує едініци.Еслі?=0, лінійна зв'язок між змінними X і Y відсутня. Значення?=± 1 вказує на наявність функціональної лінійної залежності між ними.
У міру наближення |? | до одиниці умовні дисперсії DX/y, DY/x прагнуть до нуля, що свідчить про менший розсіянні значень змінних X, Y щодо відповідних ліній регресії і про більш тісному зв'язку між даними змінними.
Позитивний знак коефіцієнта кореляції означає, що прямі регресії мають в координатної площини xOy позитивний тангенс кута нахилу, зі збільшенням (або зменшенням) значення всіх змінних X, Y пропорційно в середньому зростає (відповідно убуває) значення іншої змінної.
Негативний знак коефіцієнта кореляції вказує на зворотну тенденцію.
У таблиці 2 і таблиці 3 за допомогою даних методик були обчислені коефіцієнти кореляції для спортсменів різних видів спорту з поділом на хлопців і дівчат. Виходячи з отриманих даних, можна зробити висновок, що залежності показників різні для обох статей, що було враховано в подальшому аналізі.
.2 Варіаційний аналіз
Варіаційне числення - це розділ функціонального аналізу, в якому вивчаються варіації функціоналів. Найтиповіша завдання варіаційного числення полягає в тому, щоб знайти функцію, на якій заданий функціонал досягає екстремального значення.
Методи варіаційного числення [3] широко застосовуються в різних областях математики. Наприклад, в диференціальної геометрії з їх допомогою шукають геодезичні лінії і мінімальні поверхні. У фізиці варіаційний метод - одне з найпотужніших знарядь отримання рівнянь руху, як для дискретних, так і для розподілених систем, в тому числі і для фізичних полів. Методи варіаційного числення застосовні і в статиці.
Найважливішими поняттями варіаційного обчислення є наступні:
варіація (перша варіація),
варіаційна похідна (перша варіаційна похідна),
- крім першої варіації і першою варіаційної похідної, розглядаються і варіації і варіаційні похідні другого і вищих порядків.
Термін варіювання (варіювати) - застосовується у варіаційному численні для позначення знаходження варіації або варіаційної похідної (це аналог терміна диференціювання для випадку нескінченновимірного аргументу, що є предметом варіаційного числення). Також нерідко для стислості (особливо в додатках) термін варіювання застосовується для позначення рішення варіаційної задачі, зводиться до знаходження варіаційної похідної та прирівнювання її нулю.
Варіаційна задача означає, як правило, знаходження функції (в рамках варіаційного числення - рівняння на функцію), що задовольняє умові стаціонарності деякого заданого функціонала, тобто такої функції, (нескінченно малі) обурення якої не викликають зміни функціоналу принаймні в першому порядку малості. Також варіаційної завданням називають тісно пов'язану з цим задачу знаходження функції (рівняння на функцію), на якій даний функціонал досягає локального екстремуму (багато в чому ця задача зводиться до першої, іноді практично ...
