Системами вимагає окремого розгляду. Скажу лише, що Оптимальні параметри Систем можуть бути досягнуті на Кордоні стійкості.
Нижче наводяться СУТЬ методу Рішення алгебраїчних рівнянь і конкретні Приклади визначення коренів рівнянь з третьої по восьму ступінь включно, що доводять ПРАВИЛЬНІСТЬ отриманих результатів і вже викладені автором в інших роботах/5, 6 /.
ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ
Загальний вигляд алгебраїчного рівняння n - го ступеня
(x ** n) + A1 * (x ** (N-1)) + A2 * (x ** (n-2)) + ... + A (n-1) * x + An = 0, (1)
де
n - порядок алгебраїчного рівняння, ___
Ai - коефіцієнти рівняння, будь дійсні числа, i = 1, n.
Випадок комплексних коефіцієнтів рівняння в цій роботі не розглядається.
Оскільки Обчислення на персональному Комп'ютері володіють кінцевою точністю, доцільно рівняння (1) нормувати по старшому коефіцієнту An, щоб не відбувалося переповнення розрядної сітки. Нормуючий коефіцієнт RCn = (ABS (An)) ** (1/n). Якщо n - непарна величина, знак абсолютної величини зазвичай опускають. Обчислення на персональному Комп'ютері завжди ведуться з певною ступенем точності EPS, яка задає Критерій закінчення Рахунки.
Критерій закінчення Рахунки: Якщо алгебраїчна функція, задана рівнянням (1), при обчисленні значення кореня xi менше величини ABS (EPS * An), то обчислення названого кореня припиняють. Далі знижують порядок вихідного рівняння до величини (n - 1), якщо корінь xi - дійсний, або до величини (N - 2), якщо xi належить парі комплексно - спряжених коренів. Вся процедура повторюється спочатку для отриманого рівняння нижчого порядку до тих пір, поки не будуть знайдені всі корені вихідного рівняння (1). Якщо можливості Комп'ютера не достатні, слід знизити ступінь точності EPS (на шкоду точності обчислення коренів) або придбати більш потужну персоналках. (Персоналках - персональна обчислювальна Машина для кожного Користувача)
Очевидно, що чим потужніший Комп'ютер, тим більше можливостей для вирішення рівнянь більш високих Ступенів n.
ЛОГІКА РАССУЖДЕНИЙ.
У загальному випадку, коріння алгебраїчного рівняння відрізняються один від одного за величиною. Отже, ЗАВЖДИ можна виділити в Рішенні найбільший по модулю (домінуючий) і найменший коріння. (Доречно обмовитися відразу, що найменший за модулем корінь буде домінуючим в рівнянні, зворотному даному). p> Спробуємо послідовно зводити коріння в квадрат і порівнювати їх за величиною між собою. Після кількох таких операцій легко переконатися, що всі корені рівняння для квадратів відносно змінної xc = (x ** (2 ** J)) - мізерно малі, крім домінуючого кореня xc1. p> ВСЕ коефіцієнти рівняння, крім перших двох, будуть прагнути до нуля і, отже, ними можна знехтувати. Тоді корінь xc1 може бути знайдений з квадратного рівняння, а корінь вихідного рівняння алгебри визначиться виразом x1 = (xc1 ** (1/(2 ** J))). p> Найчастіше, при забезпеченні заданого ступеня точності EPS, раніше обчислюється домінуючий корінь зворотного рівняння, тому РЕКОМЕНДУЄТЬСЯ визначати домінуючі коріння як прямого, так і зворотного, рівнянь. p> При цьому вдається мінімізувати витрати машинного часу і, отже, добитися максимальної швидкості обчислень.
Рівняння (1) є приватним випадком іншого алгебраїчного рівняння n - го ступеня для змінної xc = (x ** (2 ** J)), де J - крок перетворення, J = 1, m, m і n - будь-які натуральні числа.
(xс ** n) + B1 * (xс ** (N-1)) + B2 * (xc ** (N-2)) + ... + B (n-1) * xc + Bn = 0, (2)
де
B1 = - ( (C1 ** 2) - (2 * C2)),
B2 = (C2 ** 2) - (2 * C1 * C3) + (2 * C4),
B3 = - ((C3 ** 2) - (2 * C2 * C4) + (2 * C1 * C5) - (2 * C6)),
...............................................................
B (n-1) = ((-1) ** (N-1)) * ((C (n-1) ** 2) - (2 * C (n-2) * Cn)),
Bn = ((-1) ** n) * (Cn ** 2). br/>
Рівняння (2) може бути отримано множенням вихідного рівняння (1) на рівняння для коріння, взятих з зворотним знаком. Наприклад, для випадку n = 3 це виглядає наступним чином:
((x ** 3) + A1 * (X ** 2) + A2 * x + A3) * ((x ** 3) - A1 * (x ** 2) + A2 * x - A3) = 0. br/>
Тоді відносно змінної xc = (x ** 2) отримують рівняння (2) при J = 1
(xc ** 3) - ((A1 ** 2) - (2 * A2)) * (xc ** 2) + ((A2 ** 2) - (2 * A1 * A3)) * xc - (A3 ** 2) = 0. br/>
Не викликає сумнівів, що
J = 0, Bi = Ai, xc = x.
J = 1, Ci = Ai, xc = (x ** 2).
J = 2, Ci = Bi для J = 1, xc = (x ** 4). p> .................................................
Нехай L = (2 ** J) - величина ступеня кореня xc1 на J-му кроці перетворення,
xc1 = (x1 ** L).
Як вже зазначалося вище, на визначеному кроці перетворень J все коефіцієнти рівняння (2), крім перших двох B1 і B2, стають зневажливо малі і їх можна відкинути. Тоді корінь xc1 може бути знайдений з квадратного рівняння, одержуваного шляхо...
