он (1643 - 1727) після безуспішних спроб точно вирішити рівняння п'ятого ступеня розробив наближений метод чисельного визначення дійсного кореня алгебраїчного рівняння довільного ступеня, який отримав його ім'я і використовуваний до цих пір (так званий метод дотичних Ньютона). Суть методу полягає в наступному: Припустимо, що дійсний корінь заданого рівняння алгебри y1 знаходиться в інтервалі (a, b). p> Обчислюють значення алгебраїчної функції F (a) або F (b), (F (A) = (a ** n) + A1 * (a ** (n - 1)) + A2 * (a ** (N - 2)) + ... + An), записують рівняння дотичної в цій точці і визначають точку перетину дотичної з віссю абсцис, якій присвоюють нове значення a або b. p> Процес обчислень виконують до тих пір, поки не буде досягнута необхідна ступінь точності обчислень EPS (y1 = a або y1 = b в Залежно від того з якого боку (ліворуч або праворуч) вирішено наблизитися до корені y1). p> Метод завжди сходиться, але НІЧОГО не говорить про оптимальні значеннях коефіцієнтів рівняння, які безпосередньо пов'язані з параметрами Систем.
Наступний етап розвитку теорії рішення рівнянь пов'язаний з творчістю Леонарда Ейлера (1707 - 1783), який, як і всі попередники, вважав можливим вирішення рівнянь будь-якого ступеня. p> Ейлер встановив, що рівняння другої, третьої, четвертої ступенів зводяться до рівнянь першої, другої і третього ступенів, які він назвав "вирішуючими рівняннями", резольвент. p> резольвент наведеного кубічного рівняння (x ** 3) + B2 * x + B3 = 0, Ейлер отримав, поклавши
x = (A ** (1/3)) + (B ** (1/3)). br/>
Для наведеного рівняння четвертого ступеня (x ** 4) + B2 * (X ** 2) + B3 * x + B4 = 0, він рекомендував підстановку
x = (A ** (1/4)) + (B ** (1/4)) + (C ** (1/4)). p> Тим самим він відкрив ІНШИЙ спосіб вирішення рівняння четвертого ступеня, відмінний від рішення Феррарі.
Ейлер вважав, що наведене рівняння n-го ступеня
(x ** n) + B2 * (x ** (N - 2)) + B3 * (x ** (n - 3)) + ... + Bn = 0,
може бути вирішено за допомогою підстановки
x = (A ** (1/n)) + (B ** (1/n)) + ... + (G ** (1/n)),
де число доданків одно (n - 1). Їм використовувалися й інші підстановки. Однак рівняння вище четвертого ступеня Ейлера вирішити не вдалося. p> При доведенні неможливості рішення рівняння п'ятого ступеня Н.Х. Абель (1802 - 1829) спирався на запропоновану Ейлером підстановку
x = w + A * ((v ** (1/5)) + B * ((v ** (2/5)) + C * ((v ** (3/5)) + D * ((v ** (4/5)),
застосувавши досвід великого Математика у своїй роботі. p> Феліксом Клейном (1849 - 1925) написана монографія/3 /, в якій найбільш повно відображено складність знаходження точного рішення рівняння п'ятого ступеня. Книга містить 336 сторінок тексту, а рішення - ні! Відразу зазначу, що я зовсім не збираюся принижувати внесок Великих математиків в Науку, навпаки, схиляюся перед їх Волею і Наполегливістю при вирішенні такого складного Завдання. Вони, як всі кращі представники Людства, випереджали свій Час. За відсутності засобів обчислювальної техніки всі спроби були приречені: не було не тільки персональних комп'ютерів, але навіть простих калькуляторів. Точність обчислень на логарифмічною лінійці для цієї мети залишала бажати кращого.
Мені вдалося вирішити алгебраїчне рівняння n - ой ступеня в радикалах , але Рішення це - наближене і вимагає обчислень з високим ступенем точності. За все треба платити, безкоштовно НІЧОГО не дається! Для визначення коренів рівняння не вимагається знання інтервалу, де алгебраїчна функція змінює свій знак (інтервалу знаходження дійсного кореня), що відрізняє розроблений Метод рішення від чисельних методів розрахунку. Для визначення коренів рівняння не вимагається знання теорій груп Абеля, Галуа, Лі і пр. і застосування спеціальної математичної термінології: кілець, полів, ідеалів, изоморфизмов і т.д. Для вирішення алгебраїчного рівняння n - го ступеня потрібно тільки вміння вирішувати квадратні рівняння і витягувати коріння з комплексного числа. Коріння можуть бути визначені з будь-яким ступенем точності, якщо потужність персонального комп'ютера дозволяє уникнути впливу похибок округлення на обчислення.
Зазначимо також, що з Рішенням Вікового рівняння вирішуються Проблеми власних значень при обчисленні Функцій від Матриць і Стійкості рішень лінійних диференціальних та різницевих рівнянь, описують руху складних технічних Об'єктів з постійної і змінної структурою (наприклад, вентильних перетворювачів). У будь-якому підручнику з Теорії Автоматичного Управління/4/можна прочитати: Рішення лінійного диференціального рівняння стійко, якщо всі корені характеристичного рівняння лежать в лівій півплощині комплексної площині коренів. Рішення різницевого рівняння стійко, якщо всі корені характеристичного рівняння знаходяться всередині кола одиничного радіуса на комплексній площині з центром у початку координат.
Оптимальне управління ...
