(1.5):
) породжені неоднорідністю умів спряження Функції Гріна
(1.23)
) породжені неоднорідністю системи (1.4) Функції впліву:
(1.24)
У результате однозначної розв язності алгебраїчної системи (1.21) й підстановкі визначених величин у рівності (1.9) маємо єдиний розв язок Крайової задачі (1.4), (1.5):
(1.25)
Перехід у формулах (1.25) до орігіналу дает єдиний розв язок параболічної задачі (1.1) - (1.3):
- дельта-функція, зосереджена в точці [7].
У формулах (1.26) за окреслений [5]
(1.27)
(1.28)
Теорема: Якщо є орігіналом за Лапласом, - двічі неперервно діференційовні за змінною r та задовольняють Однорідні умови спряження, то задача (1.1) - (1.3) має розв язок, что візначається формулою (1.26), а при віконанні умови однозначної розв язності алгебраїчної системи (1.22) ВІН єдиний.
Особливе точками Функції Гріна та функції впліву є точки галуження та. Покладемо одержимість: Якщо то при маємо: вирази (1.27), (1.28) з використанн методу контурного інтегралу в поєднанні з лемою Жордана ї теореми Коші приводимо до розрахункових формул:
(1.29)
(1.30)
При маємо:
- Функції Бесселя Першого та іншого роду відповідно.
Візначімо величини та функції:
- вагова функція, - одінічна функція Гевісайда [7].
Если віконаті зазначені у рівностях (1.29), (1.30) операции, то будемо мати Функції:
(1.31)
(1.32)
Інтегральне зображення (1.26) розв язку параболічної задачі (1.1) - (1.3) можна зобразіті в такому виде:
Наслідок 1. Нехай умови спряження Однорідні (,), Густин теплових джерел, а Початкові умови Такі, что
(). Формули (1.33) у Цьом випадка дають при інтегральні зображення:
, (1.34)
, (1.35)
. (1.36)
Введемо до РОЗГЛЯДУ вектор-функцію
та спектральні функцію
(1.37)
Інтегральне зображення (1.34) - (1.36) дають інтегральне зображення вектор-функції:
, (1.38)
Рівність (1.38) є суперпозіцією двох інтегральніх Операторів
, (1.39)
, (1.40)
Висновок: Інтегральне зображення (1.38) вектор-функції візначає Пряме и обернене інтегральне превращение. Отже, параболічну задачу (1.1) - (1.3) можна Було розв язати методом інтегрального превращение (1.39), (1.40).
Зауважімо, что: 1) вектор-функція Повністю візначає однозначно тепловий процес, что відбувається в даного середовіщі; 2) інтегральне зображення (1.33) розв язку задачі поліпараметрічне ї носити алгорітмічній характер.
2. Моделювання процесів теплопровідності в неоднорідніх СЕРЕДОВИЩА із м Якими межами методом гібрідного діференціального оператора Лежандра - Фур є - Бесселя на полярній осі
Побудуємо ограниченной в області розв язок сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу [1]
(2.1)
за початково умів
(2.2)
та умів спряження
(2.3)
розв язок задачі (2.1) - (2.3) побудуємо методом інтегрального превращение Лапласа Стосовно t [5] в пріпущенні, что вектор-функція, вектор-функція та функція є орігіналамі за Лапласом.
У зображенні за Лапласом маємо Крайову задачу: побудуваті на множіні ограниченной розв язок сепаратної системи звічайна диференціальних рівнянь Лежандра, Фур є та Бесселя для модифікованих функцій
(2.4)
ЗА УМОВИ спряження
(2.5)
Наявність фундаментальну систему розв язків та для Першого Рівняння; та для іншого Рівняння; та дозволяє побудуваті розв язок Крайової задачі (2.4), (2.5) методом функцій Коші [4,7]:
(2.6)
Тут - Функції Коші ...
