відають відповідно верхньому і нижньому власним значенням енергії
гамильтониана (3.14). Залежність амплітуди? l, u даних станів від часу визначається тільки фазовим множником е iet. Абсолютні значення амплітуд і фазові множники при t=0 можна знайти за допомогою уявлення
Власних векторів у базисі станів? 0 gt; і? 1 gt; .Зокрема, коли? =0 маємо 2 власних значення
відповідних власним значенням енергії е 0,1=± V при відносної різниці фаз 2Vt амплітуд? l, u=е ± iVt//2, що мають однакові початкові значення lt; l | 0 gt; = Lt; і | 0 gt; =1 /? 2. Биття осциляції двох амплітуд призводить до залежностей (3.20) для заселенностей.
. Чисельне рішення
Почнемо розгляд з дворівневою схемою, що має гамильтониан:
Запишемо рівняння Шредінгера для амплітуд? 0 основного стану, відповідних енергії Е0 і вектору стану? 0 gt ;. Амплітуду, енергію і вектор збудженого стану позначимо через? 1, Е1 і? 1 gt ;, відповідно. Рівняння Шредінгера з гамильтонианом має вигляд
Що станеться при включенні зовнішнього періодичного електромагнітного поля з амплітудою Е і частотою? , Близькою до частоти переходу? ~ (- Е0)/?, якщо оператор взаємодії в гамільтоніані є твір Е? ? напруженості поля Е? =Есоs (? T) і оператора дипольного моменту переходу ?? Як це зазвичай має місце в оптиці, припустимо, що оператор дипольного моменту має дійсні недіагональні матричні елементи d=(0 |? | 1), а діагональні матричні елементи відсутні. Тоді рівняння Шредінгера приймає вигляд
Розділимо на?- Постійну Планка. Таким чином, коефіцієнти при? 0 і? 1, будуть володіти розмірністю частоти.
Поклавши енергію основного стану за 0, можна трохи спростити систему:
Тепер необхідно обезразмеріть систему.
Введемо безрозмірний час? , Таке, що t=T?.
Тут Т - власний період (За аналогією з власною частотою? 0=(-Е0) /?). Для нього виконується співвідношення Т/2? =2?/? 0.
І розділимо вираження при і на? 0.
Фактично, ми перейшли в іншу систему відліку і тепер вважаємо енергетичні параметри в одиницях власних частот. Твір? Т, також, являє собою частоту, виміряну в одиницях? 0.
Для зручності введемо коефіцієнти? ,? ,? , Такі що:
Підставивши, отримаємо фінальну систему рівнянь, яку будемо вирішувати методом Рунге-кутти.
З отриманих комплексних чисел і отримаємо заселеності верхнього р 1 =? ? 1? 2 і нижнього р 0 =? ? 0? 2 рівнів.
. Аналітичне рішення
Почнемо розгляд аналітичного рішення з системи рівнянь заселеності рівнів:
Тут:
Наше завдання: перетворити систему рівнянь таким чином, щоб у ній не фігуруватимуть коефіцієнти V і? , А? ,? ,?. (Див. Чисельне рішення)
Розділимо V і? на?- Постійну Планка
Тепер:
Введемо безрозмірний час? , Таке, що t=T?.
Тут (Як і в попередньому параграфі) Т - власний період (За аналогією з власною частотою? 0=(-Е0) /?). Для нього виконується співвідношення Т/2? =2?/? 0.
Також помножимо систему на:
Заносячи Т в параметри V і? , Отримаємо обезразмеренние величини:
Нагадаємо:
Зв'язок абсолютно очевидна:
Система рівнянь з новими коефіцієнтами:
Або:
. Аналіз
Ми будемо розглядати аналітичне та чисельне рішення при різних значеннях? ,? ,? і постараємося знайти як зв'язок, так відмінності (і, відповідно, переваги та недоліки) цих двох рішень.
Перше, і найочевидніше: Якщо умова резонансу не виконується (тобто? lt; lt;?;? або? велике або, інакше кажучи, параметри системи великі в порівнянні з параметром зовнішнього впливу) , населеності і відчувають незначні коливання поблизу 1 і 0 відповідно. І теоретичний і експериментальний графіки показують практично одне і те ж.
? =1; ? =1; ? =10
(Тут і далі першого графік завжди теоретичний, другий експериментальний)
