точно, вона пропорційна?-функції Дірака. Рівняння (1.7) при t=0 незастосовні, а правильна система рівнянь має вигляд
(1.9)
Тут необхідно зазначити, що?-функції Дірака, присутньої в другому рівнянні системи (1.9), може бути дана фізична інтерпретація. Так як передбачається, що при t lt; 0 у дворівневій системі немає жодної частинки, а при t=0 частинка виникає в основному стані | 0 gt ;, то можна сказати, що щільність потоку амплітуди ймовірності закидання частинки в основний стан нескінченно велика протягом нескінченно короткого часу, тобто представляє собою ( ? -функцію. Дана модель допускає очевидне узагальнення: закид частинки можна задати довільною функцією П=П (t), що задовольняє тільки нормировке. Відповідна схема показана на рис. 1.
Рис. 1. Дворівнева система в зовнішньому резонансному поле
Інжекція частинки в нижнє стан описується щільністю потоку ймовірності П (t). Дипольний момент переходу d призводить до взаємодії V=Ed, між нижнім і верхнім станами.
(а) Подання в базисі власних станів.
(б) Представлення процесу в наближенні обертової хвилі
Після перетворення Фур'є система (1.9) приймає вигляд
(1.10)
Де використано позначення
(1.11)
І відоме властивість:
Система двох лінійних алгебраїчних рівнянь (1.10) має рішення:
(1.12)
де вертикальні дужки у матричних елементів позначають детермінанти. За допомогою зворотного перетворення Фур'є
(1.13)
знайдемо залежність від часу амплітуд ймовірностей? 0 (t) і? 1 (t) тобто проинтегрируем Фур'є-образ? 0 (е) і? 1 (е) в комплексній площині вздовж контуру С, заданого прямою лінією від -? до + ?, що проходить на відстані v над дійсною віссю, як показано на рис. 2.
Рис.2. Контур, вздовж якого виробляється інтегрування при зворотному перетворенні Фур'є, проходить над дійсною віссю. Він може бути замкнутий в нижній частині комплексній площині е, де інтеграл прагне до нуля.
Знаменники дробів у правих частинах системи рівнянь (1.12) звертаються в нуль в точках:
(1.14)
Відзначимо також, що інтеграли (1.13), обчислювані вздовж контуру С2 (коло більшого радіусу е=Rехр (- i?); R??; 0 lt;? lt;?), прагнуть до нуля при R ??, тому дійсні частини ступенів експонент під інтегралами стають великими негативними числами. Тому можна замінити відкритий контур інтегрування С1=(-? - Iv,? -iv) На замкнутий С=С1 + С 2. Потім за допомогою теореми Коші замінити інтеграл на суму відрахувань в ізольованих особливих точках е 0,1 (1.14) у нижній частині комплексній площині е включаючи дійсну вісь, отримавши таким чином
(1.15)
Що дає
Тобто
Величина? ((?/2) 2 + V 2) називається частотою Рабі, а відповідні періодичні осциляції ймовірностей - осциляціями Рабі.
Знайдемо тепер заселеності верхнього р 1 =? ? 1? 2 і нижнього р 0 =? ? 0? 2 рівнів. З рівняння (3.17) відразу отримуємо
+
Перейдемо тепер до усереднених по часу заселення станів. Враховуючи, що соs 2? T=sin 2? T=1/2, отримуємо
,
Видно, що при V lt; lt; ?/2 середня заселеність р 1 верхнього рівня мала, а заселеність р 1 порядку 1. Заселення обох рівнів стають одного порядку за величиною тільки при V ~?/2. У межі V gt; gt; ?/2 маємо р 1 ~ р 0 ~ 1/2. Звідси можна зробити висновок, що стану | 0 gt; і | 1 gt; знаходяться в резонансі, коли виконана умова резонансу V ~?/2. Іншими словами, резонанс виникає, коли характерна амплітуда взаємодії стає більше або порядку характерного значення відбудови. Цей кількісний критерій буде часто використовуватися в подальшому, при аналізі поведінки багаторівневих квантових систем.
Відзначимо один важливий випадок, коли расстройка настільки мала, що її можна покласти рівною нулю. Тоді
,
і заселеність осциллирует між нижнім і верхнім станами з частотою V. Очевидно, що середні заселеності обох станів рівні 1/2.
Іноді доцільно представляти залежать від часу амплітуди? 0,1 (t) (3.17) у вигляді суперпозиції точних власних станів | u gt ;, | l gt; гамильтониана системи, що відпо...
