ючі, (2.1) і (2.3) отрімаємо (2.2). Лема доведена.
Розглянемо систему звічайна диференціальних рівнянь
(- незбуреній розв? язок),. (4.4)
Проводимо лінеарізацію системи диференціальних рівнянь (2.4) в околі точки
,, (2.5)
,.
Стійкість системи диференціальних рівнянь (2.4) в Деяк випадка можна проаналізуваті помощью дослідження стійкості лінеарізованої системи (2.5). Припустиме, что
,, (2.6)
де Постійна в достаточно малому околі нуля.
Теорема 1. Если фундаментальна матриця однорідної системи при будь-якому и задовольняє нерівність
(2.7)
з додатним и Незалежності від константами І, то незбуреній розв? язок асимптотично Стійкий при будь-якому віборі Функції, яка задовольняє умові (2.2), если, причому для будь-которого розв'язком системи лінійніх звічайна диференціальних рівнянь (2.4) для которого віконується нерівність
при. (2.8)
Доведення. Запішемо розв? Язок системи звічайна диференціальних рівнянь (2.5) у виде
.
,
.
.
,,,.
Тоді, согласно Лемі
.
Теорема доведена.
Розглянемо автономну систему звічайна диференціальних рівнянь
. (2.9)
Лінеарізуємо систему (2.9) (,)
. (2.10)
Крітерій стійкості автономної системи за Першів набліженням:
а) Если корені характеристичності Рівняння (2.1) задовольняють умові,, то незбуреній розв? язок системи диференціальних рівнянь (2.9) асимптотично Стійкий;
б) Если среди коренів характеристичності Рівняння (2.1) знайдеться хоча б одна з додатним дійсною Частинами, то незбуреній розв? язок системи диференціальних рівнянь (2.9) нестійкій;
в) Если лінійна система стійка, тобто среди коренів характеристичності Рівняння (2.1) знайдуться деякі з Нульовий дійснімі частинами, то незбуреній розв? язок системи диференціальних рівнянь (2.9) может буті як Стійкий так и не Стійкий.
Приклад Дослідіті на стійкість незбуреній розв? язок x=y=0 системи
,.
Розв'язання. Розглянемо дві підході, Які опісані вищє.
,.
согласно крітерію система стійка.
Знайдемо фундаментальні матриці. Загальний розв? Язок системи має вигляд
.
Тоді фундаментальні матриці запішемо таким чином
.
Оскількі ця матриця обмежена, то незбуреній розв? язок x=y=0 є стійкім.
Висновки
У даній работе Вівче теорію інтегральніх нерівностей для неперервно и розрівніх функцій та ее! застосування.
У роботi розглядається новий аналог Лемі Гронуолла-Беллмана-Бiхарi для нелiнiйніх iнтегро-сумарная нерiвностей, что Узагальнює результати робiт [1-6]. Ширше метод заморожування коефiцiєнтiв для iмпульсніх систем діференцiальніх рiвнянь з відiленім лiнiйнім набліженням та нелiнiйностямі нелiпшіцевого типом, что входять у праву часть збуреної системи. Отримавших новi достатнi умови асімптотічної стiйкостi (рiвномiрної) трівiального розв язку систем діференцiальніх рiвнянь при параметрично та нелiпшіцевому тіпi iмпульсного збурення.
Проаналізувавші результати наукових досліджень, Які отрімані в Теорії інтегральніх нерівностей для розрівніх функцій, можна сделать Висновок, что смороду найбільш повно представлені у випадка, коли Функції мают розріві у фіксованіх точках простору. При цьом залішається відкрітім питання знаходження оцінок для функцій багатьох змінніх, Які мают скінченні розріві різноманітного характеру на Деяк завдання кривих або на завдання поверхонь.
Список використаної літератури
1. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Стійкість розв'язків диференціальних рівнянь з импуль-сним впливом//Дифференц. рівняння.- 1977. - 13. - С. 1981-1992.
. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Диференціальні рівняння з імпульсною дією.- Київ: Вид-во Київ. ун-ту, 1980. - 80 с.
. Самойленко А. М., Перестюк Н.А. Диференціальні рівняння з імпульсною дією.- Київ: Вища шк., 1987. - 287 с.
. Самойленко А.М., Борисенко С. Д., Матараццо Дж. Та iн. Діференцiальнi моделi (стiйкiсть).- Київ: Вища шк., 2000. - 330 с.
. Samoilenko AM, Borysenko SD, Cattani C. et al. Differential models: stability, inequalities and esti-mates.- Kyiv: Naukova Dumka, 2001. - 328 p.
. Борисенко Д.С., Галло А., Тоскано Р. Iнтегральнi нерiвностi Гронуолла-Беллмана-Бiхарi для розрівніх функцiй та оцiнки розвязкiв iмпульсніх систем//Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки.- 2005. - № 4. - С. 60-66.
. Борисенко С.С. Iнтегро-функцiональнi нерiвностi типом Беллмана-Бiхарi для розрівніх функцiй т...
