r />
Лема 2. Нехай невiдємна, кусково-неперервно на J=[t0,? [функцiя W (t) з розрівамі Першого роду в точках {ti}: t1 lt; t2 lt;...,, Задовольняє iнтегро-сумарная нерiвнiсть
(4)
де (t) gt; 0, p (t)? 0, p (t) C (J),? I gt; 0, m, n gt; 0, m? 1, (t) неспадна на J. Тодi W (t) задовольняє такi оцiнки:
(5)
(6)
(7)
Доведення. Очевидно, для 0 lt; m lt; 1, 0 lt; n? 1 (згiдно зi схемою, запропонованою в [2]), что
.
Схема доведення для випадка m gt; 1, n? 1аналогічна.
Розглянемо систему діференцiальніх рiвнянь вигляд
(8)
де A (u), B - постiйнi (n? n) -матріцi; u - Деяк параметр, u DR m R n (m? n), D - Деяка обмежена область, A (u) C1 (D), A - матриця, записана в канонiчнiй формi.
Послiдовнiсть моментiв {ti} така, что ti? ? при i? ? i
.
розвязок x (t, u) системи (8) у загально випадка є кусково-неперервно функцiєю з розрівамі 1-го роду при t=ti, причому
(9)
Для всіх и
(10)
Будемо пріпускаті, что (9), (10) віконанi для всiх u з областi D Rm i функцiя x (t, u) неперервно за t злiва в точцi ti, тобто
(11)
Разом iз системою (8) розглянемо систему збуреного руху
(12)
Тут
Нехай, де? (t) - монотонно спадної функцiя t gt; t0, причому Iснує скiнченна границя
(13)
Припустиме, что матриця B + E невіроджена, а послiдовнiсть моментiв годині {ti}, в якіх вiдбувається міттєве збурення, задовольняє умову [1]
(14)
Нехай такоже знайдеться постiйна? така, что
(15)
Позначімо через x (t, u) розвязок системи (8), Який при t=t0дорiвнює x0 для всiх u D.
Тодi
При.
Если? (u)=max Re? k (A (u)), де? k - власнi числа матріцi A (u), то справедлива оцінка (аналогiчно з результатами [1-3])
(16)
Тут? 1 - довiльне як завгодно мале число. Тодi
де? 2=max? j [(E + B) T (E + B)];
(E + B) T - транспонована матриця; i (t0, t) - кiлькiсть точок {ti} на iнтервалi J=[t0, t [.
На пiдставi (14) отрімаємо оцiнку
(17)
Нехай - розвязок системи
(18)
Який обертається в при t=t0. Тодi справедлива оцінка
(19)
ВРАХОВУЮЧИ (19), можна вважаті, что для всiх u D для матріцанту? (t, t0) системи (18) віконується нерiвнiсть
Тодi, если X (t, t0) - матриця Кошi системи (12), маємо
(20)
оскiльки будь-який розвязок x? (t) (x? (t0)=x? 0== x0) системи (12) має вигляд x? (t)=X (t, t0) x0, то з ( 20) отрімаємо, як только
(21)
Розглянемо систему вигляд
(22)
Теорема 1. Припустиме, что для системи (22) справджуються такi умови:
1)
)
)
)
)
)
)
)
).
Тодi трівiальній розвязок системи (22) :) асимптотично стiйкій;) рiвномiрно вiдносно t0 асимптотично стiйкій, если? (t0), p? (t0) НЕ залежався вiд t0.
Доведення. Для довiльного розвязка системи (22) справедливе зображення [2]
(23)
На пiдставi Лемі 1 отрімуємо
ВРАХОВУЮЧИ умови теореми, маємо
.
Теорема 2. Припустиме, что для системи (22) справджуються такi умови:
) 1-5 теореми 1;
)
)
)
)
)
).
Таким чином, на пiдставi віщевікладеного можна сделать такi Висновки:
) при n=1 та? (t)=const результат Лемі 2 збiгається з вiдповiдно результатами робiт [4, теорема 3.1.2, с. 176; 5, теорема 3.1.2, c. 176];
) при 0 lt; m=n lt; 1 та m=n gt; 1 з результату Лемі 2 віпліває результат роботи [6];
) при P (t, x)=P (t) x, де P (t): || P (t) ||? C=const lt; ? та Ii (x)=Ii? const (n? n) -матріцi, з результату теореми 1 як наслiдок отрімуємо теорему 4.2.4 [4, с. 268];
) результат теореми 2 Узагальнює вiдповiднi дослiдження [1-8] iмпульсніх нелiнiйніх систем за лiнiйнім набліженням.
2. ! Застосування інтегро-сумарная нерівностей типу Біхарі
Лема Гронуолла-Беллмана. Нехай Функції і - неперевні при, - стала и при віконується нерівність
. (2.1)
Тоді при справедлива нерівність
. (2.2)
Доведення . Помножімо обідві части нерівності (2.1) на
и позначімо. Тоді з останньої нерівності отрімаємо
.
, то,.
. (2.3)
Вікорістову...
