нс - це звучання тонів, В«не зливаютьсяВ» один з одним, немилозвучний інтервал.
Найменування Інтервальний Ступінь
інтервалу коефіцієнт консонансних
Прима 1/1 цілком досконалий
Октава 2/1 цілком досконалий
Квінта 3/2 досконалий
Кварта 4/3 досконалий
Велика секста 5/3 недосконалий
Велика терція 5/4 недосконалий
Мала терція 6/5 недосконалий
Мала секста 8/5 недосконалий
Консонанс виражається математично простими чисельними співвідношеннями звучать частот, а фізично - кращим збігом обертонів обох звуків. У цьому сенсі, однак, відмінність між консонансом і дисонансом лише якісне. А людське сприйняття ділить інтервали на В«хорошіВ» і В«поганіВ».
В
2. Фізичні основи звуку:
Звук є сприймаються людським слухом коливання повітря. Музичні звуки породжуються музичними інструментами (у цьому сенсі людський голос теж умовно зараховується до музичних інструментів). Традиційною моделлю для вивчення музичних звуків є коливається струна. Струни лежать в основі великого числа інструментів (не тільки струнних, а й, наприклад, клавішних). Розглянемо коливається струну, щоб дізнатися, що ж за коливання повітря вона породжує.
Коливання струни вивчали ще піфагорійці. Вони використовували для цього нескладний прилад під назвою монохорд, який представляє з себе єдину струну, закріплену в двох точках над резонатором.
Значно пізніше, у XVIII столітті, після робіт Ньютона і Лейбніца в галузі фізики і диференціального числення, було виведено рівняння коливання струни - так зване хвильове рівняння (породившее нову область у науці - математичну фізику):
В
Тут t - час; x - координати якоїсь точки на струні в момент часу t;
u = f (x, t) - функція відхилення точки x в момент часу t від положення рівноваги; - коефіцієнт пропорційності, характеризує пружні властивості струни; T - сила натягу струни; - щільність однорідної струни. Передбачається, що струна здійснює малі коливання в одній площині.
Хвильовий рівняння є не що інше, як наслідок другого закону Ньютона. Ліва частина - прискорення струни в точці x, а права частина - віднесена до маси струни сила, що викликає це прискорення, яка тим більше, чим більше увігнутість струни
В
Розглянемо детальніше рівняння коливань струни.
2.1 Рівняння малих поперечних коливань струни.
Кожну точку струни l можна охарактеризувати значення її абсциси x . Опис процесу коливання струни може бути проведене за допомогою завдання положення точок струни в момент часу t досить задати компоненти вектора зміщення { u 1 ( x < i>, t ), u 2 ( x , t ), u < sub> 3 ( x , t )} точки x в момент t .
Будемо припускати, що зміщення струни лежать в одній площині ( x , u ) і що вектор зміщення u перпендикулярний в будь момент до осі x ; тоді процес коливання можна описати однією функцією u ( x , t ), що характеризує вертикальне переміщення струни. Будемо розглядати струну як гнучку пружну нитку. Математичної вираз поняття гнучкості полягає в тому, що напруги, виникають у струні, завжди спрямовані по дотичній до її миттєвому профілем (Рис. 1). Ця умова виражає собою те, що струні не чинить опір вигину. br/>В
Величина натягу, що виникає в струні внаслідок пружності, може бути обчислена за закону Гука. Будемо розглядати малі коливання струни і нехтувати квадратом u x в порівнянні з одиницею.
Користуючись цим умовою, підрахуємо подовження, випробовуване ділянкою струни ( x 1 , x 2 ). Довжина дуги цієї ділянки дорівнює
В
Таким чином, в межах прийнятої нами точності подовження ділянок струни в процесі коливання не відбувається; звідси в силу закону Гука випливає, що величина натягу T в кожній точці не змінюється з часом. Покажемо також, що натяг не залежить і від x , тобто
В
Знайдемо проекції натягу на осі x і u (позначимо їх T x і T u ):
В В
де О± - Кут дотичної до кривої u ( x , t ) з віссю x . На ділянку ( x 1 , x 2 ) діють сили натягу, зовнішні сили і сили інерції. Сума проекції всіх сил на вісь x повинна дорівнювати нулю (ми розглядаємо тільки поперечні коливання). Так як сили інерції і зовнішні сили за припущенням спрямовані уздовж осі u , то
(1)
Звідси в силу довільності x ...
