1 і x 2 слід, що натяг не залежить від x , тобто для всіх значень x і t
(2)
Перейдемо до висновку рівняння поперечних коливань струни. Скористаємося другим законом Ньютона. Складова кількості руху ділянки струни ( x 1 , x 2 ) по осі u дорівнює
В
де ПЃ - лінійна щільність струни. Прирівняємо зміна кількості руху за проміжок часу О” t = t 2 - t 1
В
імпульсу діючих сил, що складаються з натягу
В
в точках x 1 і x 2 і зовнішньої сили, яку будемо вважати безперервно розподіленої з щільністю (навантаженням) F ( x , t ), розрахованої на одиницю довжини. У результаті отримаємо рівняння поперечних коливань елемента струни в інтегральній формі
(3)
Для переходу до диференціального рівняння припустимо існування і безперервність других похідних від u ( x , t ). Тоді фотмула (3) після дворазового застосування теореми про середню прийме вигляд
В
де
В
Скоротимо на О” x О” t і переходячи до межі при x 2 в†’ x 1 , t 2 в†’ t 1 , отримаємо диференціальне рівняння поперечних коливань струни
(4)
У разі постійної щільності ПЃ = const цього рівняння зазвичай надають вид
(5)
де
(6)
є щільність сили, віднесена до одиниці маси. За відсутності зовнішньої сили отримаємо однорідне рівняння
В
або
В
описує вільні коливання струни. Це рівняння є найпростішим прикладом рівняння гіперболічного типу.
В
Якщо в точці прикладена зосереджена сила f 0 ( t ) (рис. 2), то рівняння (3) запишеться так:
В
Оскільки швидкості точок струни обмежені, то при x 1 в†’ x < sub> 0 і x 2 в†’ x 0 інтеграли в лівій частині цього рівності прагнуть до нуля, і рівність (3) приймає вигляд
(7)
Користуючись теоремою про середню, скорочуючи обидві частини рівності на О” t і переходячи до межі при t 2 в†’ t 1 отримаємо:
В
Звідси видно, що в точці прикладання зосередженої сили перші похідні зазнають розрив і диференціальне рівняння втрачає сенс. У цій точці повинні виконуватися дві умови сполучення
(8)
друге з яких висловлює безперервність струни, друге визначає величину зламу струни в точці x 0 , залежну від f 0 ( t ) і натягу T 0 .
Тепер розглянемо задачу про поперечні коливання струни, закріпленої на кінцях. У цій задачі u ( x , t ) дає відхилення струни від осі x . Якщо кінці струни 0 ≤ x ≤ l закріплені, то повинні виконуватися В«граничні умовиВ»
u (0, t ) = 0, u ( l , t ) = 0. p> Так як процес коливання струни залежить від її початкової форми і розподілу швидкостей, то слід задати В«початкові умовиВ»:
В
Таким чином, додаткові умови складаються з граничних і початкових умов, де П† ( x ) і П€ ( x ) - задані функції точки. p> Ці умови цілком визначають рішення рівняння коливання струни
В
2.2 Метод Фур'є для рівняння коливань обмеженою струни.
В В
Початкові умови:
В
Граничні умови:
В
Рішення:
В
де
В
Кожна функція являє собою гармонійне коливання з частотою
П‰ n = kПЂa / l . Амплітуда коливань для різних точок різна. На кінцях струна нерухома. Всі точки струни одночасно досягають свого максимального відхилення в ту або іншу сторону і одночасно проходять положення рівноваги. Такі коливання називаються стоячими хвилями. Нерухомі точки називаються вузлами стоячої хвилі. Посередині між вузлами розташовані точки, в яких відхилення досягають максимуму. Ці точки називют пучностями стоячій хвилі.
Т. е. коливання кінцевої струни являє собою нескінченну суму стоячих хвиль, кожна з яких має постійну частоту коливання і змінюється по довжині струни амплітуду. У-й стоячій хвилі мається пучностей і вузлів.
Повернемося до музичної інтерпретації:
Ми бачимо, що звуки складаються з суми гармонійних коливань. Назвемо ці окремі гармоніки ідеальними звуками, тонами або просто звук...
