її величина визначається за формулою: В В
Тоді для кінетичної енергії системи отримаємо:
(2.1.2)
Введемо позначення:
В
Знайдемо всі похідні лівої частини рівнянь (2.1.3):
В В В В В В
Узагальнені сили можна визначити двома способами:
1. Фіксуємо координату, даємо віртуальне переміщення, знаходимо елементарну роботу:
В В
Фіксуємо координату, даємо віртуальне переміщення, знаходимо елементарну роботу:
В В
2. Обчислимо потенційну енергію системи:
В
Знайдемо узагальнені сили:
В В
Підставивши похідні лівої частини рівнянь (2.1.1) і узагальнені сили і в рівняння (2.1.1), отримаємо диференціальні рівняння руху системи:
В
Для вирішення системи диференціальних рівнянь руху механічної системи проведемо чисельну інтегрування на ЕОМ. Результати чисельного інтегрування наведені в додатку № 2.
Для перевірки чисельного інтегрування знайдемо, виходячи з отриманих даних, значення потенційної і кінетичної енергії механічної системи. Підсумовуючи значення потенційної і кінетичної енергії механічної системи перевіримо, чи виконується Закон збереження енергії (див. додаток № 2).
2.2 Визначення реакцій в опорах методом кінетостатікі
Виберемо для нашої системи нерухому систему координат Про 1 X 1 Y 1 , (cм. рис. 4).
В
Рис.4. Сили, що діють на систему
Рівняння кінетостатікі у векторній формі мають вигляд
(2.2.1)
де - головні вектори активних сил, реакцій зв'язків і сил інерції;
- головні моменти активних сил, реакцій зв'язків і сил інерції відносно точки О 1 .
Сила інерції кульки як матеріальної точки, що здійснює складний рух, дорівнює геометричній сумі відносної, переносний і коріолісовой сил інерції:
В
,
В
Сила інерції пластини буде дорівнює:
В
Модулі сил інерції рівні
,, (2.2.2)
Зобразимо активні сили, реакції опори і сили інерції, що діють на механічну систему (рис. 4). Векторні рівняння кінетостатікі (2.2.1) в проекціях на осі нерухомої системи координат OX 1 Y 1 мають вид
(2.2.3)
C урахуванням виразів для сил інерції (2.2.2), рівняння (2.2.3) приймають вид
В
Знайдені рівняння реакцій шарніра і обертального моменту збігаються з тими, що були знайдені в попередніх частинах курсової роботи.
3. Поведінки системи в умовах малих коливань
В
3.1 Положення рівноваги механічної системи та їх стійкість
Для визначення положення рівноваги механічної системи скористаємося виразом для потенційної енергії системи, яке було виведено нами у другому розділі курсової роботи (див. п. 4):
(3.1.1)
Знайдемо можливі положення рівноваги системи. Значення узагальнених координат у положеннях рівноваги є коріння системи рівнянь:
В
Вирішуючи систему рівнянь, отримуємо два можливих положення рівноваги: ​​
.
Для оцінки стійкості отриманих положень рівноваги визначимо узагальнені коефіцієнти жорсткості. Знайдемо всі другі похідні потенційної енергії (3.1) за узагальненими координатами:
В
Для першого положення рівноваги узагальнені коефіцієнти жорсткості рівні:
В
Скористаємося критерієм Сильвестра:
В
Для другого положення рівноваги узагальнені коефіцієнти жорсткості рівні:
В
Скористаємося критерієм Сильвестра:
В
Таким чином, система приймає єдине стійке положення рівноваги при:
3.2 Частоти головних коливань. Рівняння руху матеріальної точки і твердого тіла при коливаннях
Для знаходження частот і форм головних коливань, випишемо отримані значення узагальнених коефіцієнтів інерції і жорсткості в положенні стійкої рівноваги, при:.
В В В В
У положенні рівноваги: ​​
(3.2.1)
Запишемо диференціальні рівняння малих коливань механічної системи:
В
Складемо характеристичне рівняння:
В
Або в розгорнутому вигляді:
В
Знайдемо коріння характеристичного рівняння, підставляючи в рівняння знайдені значення узагальнених коефіцієнтів інерції і жорсткості:
В
Визначимо коефіцієнти форм коливань:
В
Таким чином, рух розглянутої системи при власних коливаннях відбуватиметься за наступному закону:
(3.2.2)
3.3Уравненія руху матеріальної точки і твердого тіла при коливаннях
Знайдемо значення постійних інтегрування системи рівнянь (3.2.2) для таких початкових умов:
В В
