і згрупувати ідентичні доданки, то отримуємо:
В
- це трохи більш загальне рівність, ніж те, що ми отримували раніше для приватного випадку. Як і раніше - з збіжності обох пси до нуля при прагненні k за модулем до нескінченності, збіжності L + L - не швидше багаточлена ступеня n, а також враховуючи, що існує єдина пси в нашій смузі, складена з ОЁ 1 , ОЁ 2 , ми отримуємо наступні співвідношення:
В
Р n (k) - Многочлен, коефіцієнти якого визначаються з доп.условій. Далі - рішення буде дорівнює зворотному перетворенню Фур'є від суми ОЁ 1 , ОЁ 2.
Що залишилося з'ясувати, так це саму можливість так розкладати функції. Наведемо нескольку лем, що обгрунтовують можливість такої роботи з нашими функціями.
Лемма1 : Нехай образ F (k) аналітичний в смузі, F (k) рівномірно прагне до 0 при | k | -> в€ћ Тоді в цій смузі можливо розбивка функції F як, F + (k) аналітична в Im (k)> П„ - , F - (k) аналітична в Im (k) <П„ + . <В В В В В В
Доказ: Розглянемо систему відліку так, як це зображено на картинці. Порахуємо значення F (k 0 ) - У точці, що лежить всередині прямокутного контуру abcd.По формулою Коші розписали в інтеграл по контуру.Перейдем до межі A -> в€ћ, і устремим контур до смуги. br/>В
Тоді в межі отримуємо
,
де ці частини є
В
Кожна функція задана в своїй області, а на їх перетині в нашій смузі ми маємо рівність. Що і потрібно було довести, загалом то. Очевидно, що з їх збіжності слід і обмеженість F + (k), F - (k) в розглянутій смузі.
Лемма2: Нехай функція Ф (k) є аналітичної і не рівною нулю в смузі, причому Ф (k) рівномірно прагне до 1 при | k | -> в€ћ. Тоді , Де функції Ф + , Ф - відповідно аналітичні в
і <В
Доказ:
Зауважимо, що для функції виконані умови лемми1, значить, ми маємо право її представити сумою F + , F - , А Ф - твором:
, Ф = Ф + * Ф - . br/>
Умови на кордону по уявної осі для функцій Ф + , Ф - збережуться => Лема доведена. p> Тепер зробимо ще одне узагальнення - покажемо, як у загальних рисах працює цей метод для неоднорідного рівняння
(7)
Проводячи аналогічні міркування, розбиваючи u (x) на дві допоміжні функції, помічаємо, що при виконанні умов для модуля
В
в смузі ми можемо переходити до образів функцій і ми отримаємо
В
попередньо розбивши F на дві. Беручи за функцію L (x) ф-ту
,
аналітичну в стандартній смузі і рівномірно прагне до 1 при наше алгебраїчне рівняння перепишеться як
В
Далі, точно також поділяємо L на дві частини як
,
І L + - Аналітична в, L - - Аналітична в. За аналогією приводячи до спільного знаменника, отримуємо рівняння на U + , U - : br/>В
При успішному розкладанні останнього члена як
,
де по все тій же аналогії D + і D - аналітичні в областях відповідно, ми записуємо рішення у вигляді
.
При цьому ми скористалися тією ж збіжністю - L + , L - ростуть не швидше ніж k n , а значить, для виконання умов необхідний поліном в чисельнику.
Як бачимо, і ця, неоднорідна завдання, успішно вирішилася методом Вінера-Хопфа. Як такої, метод заснований на якійсь аналогією розділення змінних - ми поділяємо одну функцію на суму двох, кожна з яких закриває свою зону комплексної площині, і з кожною половиною працюємо окремо.
Метод ми розглянули, зрозуміли, як він працює, тепер розглянемо його конкретне застосування - в крайових задачах математичної фізики.
В
2. Застосування методу Вінера-Хопфа
До цього ми розглядали наш метод для вирішення інтегральних рівнянь, однорідних і неоднорідних, з спеціальним ядром. Зараз же розглянемо рівняння Лапласа і крайову задачу на ньому, тим самим узагальнивши м. В.-Х. і на диференціальні рівняння в приватних похідних.
Отже, завдання: у верхній півплощині знайти гармонійну функцію, що задовольняє таким умовам:
В
Для цього вирішимо к. задачу на рівнянні,, і перейдемо вже в рішенні до межі в нулі за каппа.
Поділяючи змінні, і застосовуючи метод Фур'є, в загальному вигляді знаходимо рішення:
,
де f (k) - Довільна функція комплексного параметра k, br/>В
Для задоволення функції u граничним умовам повинні виконуватися ...
