2 умови на f (очевидно з уявлення u):
В
Рішення будується, якщо L (k) аналітична в смузі П„ - + , якщо при цьому П„ - <0, П„ + > 0. Тоді
,
де L + аналітична у верхній півплощині П„ - - аналітична в нижній п.п Im (k) <О¤ + . Якщо ми так представили L, нескладно переконається в істинності рішення
,
де константа визначається як
В
Ці результати ми отримуємо, замикаючи контур інтегрування і користуючись лемами Жордана про інтегрування по верхній/нижній півплощині. Переконуємося, що вид функції L
В
нам підходить. Підставляючи його в попередні рівності, отримуємо
і
,
що вирішує задачу. Тепер, як ми на самому початку говорили, перейдемо до межі по каппа до нуля і в межі отримуємо гармонійну функцію:
В
обчислюючи інтеграл, отримуємо
В
Подальші обчислення приводять нас до наступного результату:
-
якщо вводимо допоміжну функцію так, то
, z = x + iy.
Отримали відповідь завдання.
Висновок
У роботі ми розглянули метод на прикладі інтегральних рівнянь, і обгрунтували його правильність. Після ми застосували його до вирішення крайової задачі матфізікі, використовуючи подання про метод Вінера-Хопфа з області спеціальних інтегральних рівнянь.
У Загалом то, ми застосували небанальний перехід, коли спрямовували каппа до 0, і отримували гармонійне рівняння.
У Загалом і в цілому, метод Вінера-Хопфа, хоч і є досить вузьким методом, спрямованим на вирішення конкретного І.У. з певним ядром, дозволяє вирішувати багато математичні задачі крім свого прямого призначення.
Список використаної літератури
1. Б.Нобл. "Застосування Методу Вінера-Хопфа для рішення диференціальних рівнянь в приватних похідних. "
2. Свєшніков, Тихонов, "Теорія функцій комплексної змінної." br/>
