яє в межі інтегрування, і інтеграл можна взяти речовим, вибравши уявну частину П„ нулем.
Застосуємо ці міркування до вирішення шуканого рівняння. (6)
(6)
Розкладемо невідому функцію u (x) на складові u + , U - : br/>В В
При підстановці цих функцій в рівняння (6) ми отримуємо два рівняння на кожну частина u (x). Факт існування рішення ми приймемо без доказів. Ми шукаємо рішення, задовольняють наступним умовам:
,
Ој <П„ + . br/>
При їх виконанні в смузі Ој + функції u + , u - є аналітичними.
Переходячи за формулами перетворення Фур'є до рівняння для образів, аналогічно проробленому в В§ 1, ми маємо право користуватися тими ж властивостями, з причини саме такого вибору функцій u + , u - . Отже, отримуємо:
,
що видно з представлення u (x) = u + (x) + u - (x), U (k) = U + (k) + U - (k) і рівняння (6). Переносячи все в ліву частину, бачимо, що
,
якщо так задати функцію L (k).
В
Ми підійшли до суті методу Вінера-Хопфа: шляхом перетворення Фур'є звели наше рівняння до алгебраическому, але вже відносно образів функції. Проте в нашому випадку, на відміну від В§ 1, неізвестнихфункцій в ньому дві, і обидві нам потрібні. Грубо кажучи, нам дозволено знайти рішення, але воно не буде однозначним, і даний метод працює лише для певного виду функцій.Пусть ми нашу функцію L (k) можемо уявити як приватна функцій L + (k), L - (k), рівняння приймає при цьому вигляд
,
і відомо наступне - "плюсова" частина є аналітична функція к.п. в області , "Мінусова" частина аналітична функція в області, Ој <П„ + , а значить, в смузі (яка Непорожнє) існує єдина загальна функція U (k), збігається з U + , U - у відповідних областях. Якщо додатково задати, що функції L + , L - ростуть не швидше статечної функції k n , то функції можемо вважати визначеними, і прирівняти праву і ліву частину в загальному випадку многочлену P n (k) (Це виходить, якщо врахувати прагнення U + , U - до нулю по | до | -> в€ћ. Тепер у нас невизначеності немає, і в загальному вигляді це виглядає так:
Якщо ступінь зростання функцій L є одиниця (ростуть не швидше лінійної функції), то ми маємо для шматків функції L (k) наступне:
,
і в підсумковому рішенні буде присутній довільна константа C.Пріведу приклад останнього випадку з n = 0. Приклад.
В В
- інтегральне рівняння з напівнескінченних проміжком і нульовий f для простоти. Вирішимо його м.В.-Х.
Як бачимо, ми маємо справу з ядром виду exp (- | x |). Знайдемо його Фур'є-образ, і далі, функцію L (k):
В В
- є аналітичною в області -1
В
При 0 <О» <0.5 умови одночасної аналітичності виконуються в смузі Ој 0.5 умови виконуються в смузі 0 + (k), L - (k). Далі - обидві функції ростуть на нескінченності до по модулю не швидше многочленів першого ступеня. Наш поліном у чисельнику - це константа, поліном нульової ступеня, інакше не виконується умова збіжності твори L + U + , L - U - . Значить
,
і, застосовуючи зворотне перетворення Фур'є, знаходимо u + (x): br/>
,
що вірно для Рішення в квадратурі знайдено, цей інтеграл підлягає простому підрахунку. На виході отримаємо:
В
Як бачимо, рішення отримано з точністю до константи.
1.3 У загальному вигляді
Викладемо метод Вінера-Хопфа в загальному вигляді. Візьмемо узагальнене рівняння
В
і поставимо завдання: знайти функції ОЁ 1 , ОЁ 2 , що задовольняють нашому рівнянню в смузі, що прагнуть до нуля при. A, B, C - Аналітичні в нашій смузі функції, для обмеження виродженого випадку A, B не рівні в смузі нулю. Ідею рішення такого рівняння ми в основному вже викладали, тут вона трохи розширена. Отже, представляємо A/B як приватна функцій L + , L - , br/>
, br/>
причому L + аналітична в області Im (k)> О¤ - , L - аналітична в області Im (k) <О¤ + . Підставляючи це в рівняння, і приводячи до спільного знаменника, отримуємо:
В
Тепер, якщо вдається розбити доданок, що не містить ОЁ, на два, як
,
що буде вірно в деякій подполосе нашої смуги, ...
