> На закінчення обговорення питань подібності механічних систем на основі масштабних перетворень фізичних рівнянь сформулюємо три основні теореми подібності [37].
Теорема I. У подібних явищах критерії подібності мають однакові чисельні значення.
Теорема II. Всі кінцеві і диференціальні рівняння, що описують реальні фізичні процеси, можуть бути перетворені в рівняння, що виражають однозначну зв'язок між критеріями подібності.
Теорема III. Необхідні і достатні умови подібності явищ полягають у рівності чисельних значень визначальних критеріїв подібності. Рівність чисельних значень інших критеріїв є наслідком існування подібності.
В§ 3. Про моделювання завдань з початковими і граничними умовами
Диференціальні рівняння механіки елементів конструкцій встановлюють взаємну зв'язок між просторовими і тимчасовими змінами фізичних змінних досліджуваного явища. Ці рівняння описують в межах елементарного об'єму всі без винятку явища даного класу, незалежно від геометричної конфігурації об'єкту і характеру його взаємодії з навколишнім середовищем.
Для того щоб виділити з цілого класу одиничне явище, необхідно приєднати до диференціальних рівнянь певні умови, які дозволили б розглядати конкретний випадок поведінки об'єкта. Ці умови визначаються:
1) розподілом у просторі істотних для процесу параметрів системи для початкового моменту часу;
2) характером взаємодії системи з навколишніми об'єктами і зовнішнім середовищем для кожного моменту часу.
Умови 1 і 2 представляють собою відповідно початкові і граничні (або крайові) умови.
Система диференціальних рівнянь разом з початковими і граничними умовами дає повну математичну формулювання поставленого завдання як для натурного об'єкта, так і для його моделі.
Якщо диференціальні рівняння спільно з початковими і крайовими умовами приведені до безрозмірного вигляду, завдання чисельних значень безрозмірних початкових і крайових умов спільно з визначальними критеріями подібності (В§ 2.1) виділяє з усього класу механічних станів або процесів вже не одиничне явище, а групу подібних явищ [101].
Таким чином, суттєвим елементом при дослідженні подібності методом масштабних перетворень фізичних рівнянь g метою подальшого моделювання механічних станів або процесів є перетворення подібності початкових і крайових умов спільно з перетвореннями самих диференціальних рівнянь.
Розглянемо особливості моделювання в завданнях із початковими і граничними умовами на прикладі вимушених поперечних коливань стержня з урахуванням внутрішнього тертя в матеріалі.
Для обліку внутрішнього тертя в якості рівняння стану матеріалу скористаємося моделлю упруговязкіх тіла Фойгта [86]. У цьому випадку напруга а і деформація е в поздовжніх волокнах стрижня пов'язані залежністю
В
де Е - модуль пружності; - коефіцієнт в'язкості.
Приймаючи на додаток до закону (3.25) гіпотезу плоских перерізів, прийдемо до диференціальних залежностям для поперечних рухів стрижня [9]
В
Тут х, i - осьова координата і час m, EJ - погонна маса і изгибная жорсткість стрижня; w (х у t) 9 Q (х, t) 9 М (х, t) - поточні значення прогинів, перерізують сил і згинальних моментів.
Нехай призматичний консольний стрижень (Див. рис. 2.2) навантажений на вільному кінці зосередженої возмущающей силою Р = Р (t) і має в момент часу t = 0 початкові відхилення від осі 8 = б (х). У цьому випадку крайова задача для системи диференціальних рівнянь (3.26) при позначеннях '() == d/dt, (У = д/дх має вигляд
В
Розглядаючи два геометрично подібних об'єкта - модель 1 і натуру 2, введемо масштаби для основних параметрів системи фізичних рівнянь (3.27):
В
Рівняння (3.27) для моделі і натури розрізняються лише індексами 1, 2 у всіх постійних і змінних величин. Розглядаючи ці рівняння для натури 2 і виконуючи в них масштабні перетворення основних параметрів відповідно до формулами (3.28), прийдемо ic видозміненій крайовій задачі у формі
В
Рівняння (3.29) являють собою результат подібних перетворень рівностей (3.27), записаних для натури. З умов інваріантності фізичних рівнянь для двох механічно подібних об'єктів - моделі 1 і натури 2 маємо чотири незалежні індикатора подібності:
В
Індикатори подібності (3.30) являють собою рівняння зв'язку між масштабами або просто рівняння зв'язку. Вище було показано (В§ 3.2), що вони еквівалентні умовам подібності фізичних явищ.
Для практичних цілей рівняння зв'язку зручно представити у формі відносин масштабів
В
Роль крайових умов при дослідженні подібності методом масштабних перетворень фізичних рівнянь особливо наочно видно з розгляду співвідношень (3.31). Обидва підкреслених двічі рівняння зв'...
