Державне бюджетне освітня установа вищої професійної освіти Московської області
Міжнародний університет природи, суспільства і людини «Дубна»
ІНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛІЗУ ТА УПРАВЛІННЯ
Кафедра «Персональна електроніка»
Курсовий проект
з дисципліни «Математичні методи в електроніці»
ТЕМА: «Моделювання процесів електричних ланцюгів за допомогою диференціальних рівнянь»
Виконав: студент 2141 групи
Малишев А.М
Керівник: професор, д.т.н.
Трофимов А.Т
Дубна 2014р.
ЗАВДАННЯ на курсовий проект
Завдання:
1. Складання диференціального рівняння для опису процесів в електричній схемі.
2. Рішення диференціального рівняння (моделювання процесів) для 3 випадків:
2.1. При заданих початкових умовах.
. 2. При вхідній дії одиничним стрибком (функція Хевісайда).
. 3. При заданому вхідному впливі (Гаусів імпульс).
. Вихідні дані
3.1 Дана схема
Рис. 1. Електрична схема
. 2 Задано вхідний імпульс виду - Гаусів імпульс.
? =1/RC - параметр імпульсу.
. 3 Значення величини RC одно 0,1.
. 4 Початкові умови:
Y (0)=1 - для диференціального рівняння 1 порядку;
Y` (0)=0 - для диференціального рівняння 2 порядку.
. 5 Тривалість сигналу [Ті]=2 Секунди.
. Висновки.
Аналіз вихідних даних
Твір RC - це постійна часу заряду визначальна як швидко відбувається зміна напруги.
Зарядка і розрядка конденсатора до певної напруги займає кінцевий період часу (званий постійної часу); цей час залежить в основному від ємності конденсатора і включеного послідовно опору.
Постійна часу заряду - це час, що потрібно конденсатору, щоб зарядитися до 63, 2% прикладеної напруги. Ця постійна виражається як добуток RC.
Складання диференціального рівняння для опису процесів, що протікають в даній ланцюга:
Для складання диференціального рівняння необхідно скласти рівняння виходячи з 2 закону Кірхгофа. Закони Кірхгофа справедливі для лінійних і нелінійних ланцюгів при будь-якому характері зміни в часі струмів і напруг.
Формулювання другого закону Кирхгофа: алгебраїчна сума падінь напруг на окремих ділянках замкнутого контуру, дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС в цьому контурі.
Напруга позначається буквою u.
Запишемо цей закон в аналітичній формі у відповідності зі схемою, представленої на малюнку 1:
uc (t) + uR (t) + uR (t)=e (t)
uc - Напруга на конденсаторі. uR - Напруга на резисторі.
Висновок рівняння:
Дана схема складається з одного контуру, всі елементи з'єднані послідовно, значить, струми на кожному елементі рівні між собою.
Позначимо вихідна напруга як Y (t).
Напруга на другому резисторі дорівнює вихідному напрузі Y (t), а, так як ці резистори однакові, то напруга на першому резисторі теж буде дорівнювати вихідній напрузі.
(t)=Y (t)
Знайдемо напругу на конденсаторі (uc):
Напруга виводиться з формули, для знаходження струму, що протікає через конденсатор.
Висловивши з попереднього рівняння напруга uc, отримаємо формулу для знаходження напруги на конденсаторі:
Тепер потрібно висловити струм, що протікає через конденсатор. Так як струми на кожному елементі рівні, значить, струм на будь-якому з резисторів буде дорівнює струму на конденсаторі.
а струм на резисторі виражається виходячи з закону Ома:
де uR це вихідна напруга, яке ми позначили як Y (t).
У результаті:
Підставами отриманий вираз у формулу для знаходження напруги на конденсаторі, і винесемо R за знак інтеграла, так як це константа.
В результат...
