ової максимум. Теорема Ферма не виконується, так як точка х 0 = 1 ГЏ (-1; 1). br/>
Мішель Ролль (1652-1719) - Французький математик, член Паризької академії наук. Розробив метод відділення дійсних коренів алгебраїчних рівнянь.
Теорема Ролля. Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f (b). Тоді існує хоча б одна точка x, а
Доказ:
1) якщо f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, Е“х ГЋ (a, b);
2) якщо f (x) В№ const на [a, b], то безперервна на [a, b] функція досягає найбільшого і найменшого значень в деяких точках відрізка
[a, b]. Отже, max f (x) або min f (x) обов'язково досягається у внутрішній точці x відрізка [a, b], а по теоремі Ферма маємо, що f '(x) = 0. p> Теорема доведена.
Геометричний сенс теореми Ролля: при виконанні умов теореми всередині відрізка [a, b] обов'язково знайдеться хоча б одна точка x, така, що дотична до графіка f (x) в точці (x, f (x)) ГЇГЇ Ox (див. малюнок).
Зауважимо, що всі умови теореми істотні.
В
Приклад 3. f (x) = Г§х Г·, х ГЋ [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.
У точці х = 0 порушено умова діфференцируємості. Отже, теорема Ролля не застосовується - ні в одній точці відрізка [-1; 1] похідна в нуль не зверталися.
Приклад 4.
Для даної функції f (0) = f (1) = 0, але ні в одній точці інтервалу
(0; 1) похідна немає дорівнює 0, так як теорема Ролля не виконується - функція не є безперервною на [0; 1].
Огюстен Коші (1789-1857) - французький математик, член Паризької академії наук, почесний член Петербурзької і багатьох інших академій. Праці Коші відносяться до математичного аналізу, диференціальних рівнянь, алгебри, геометрії та іншим математичних наук.
Теорему Коші. Нехай функції f (х) і g (х) неперервні на відрізку
[a, b] і діфференцируєми на інтервалі (a, b), причому g '(х) В№ 0, Е“х ГЋ (a, b). Тоді на (a, b) знайдеться точка x, така, що
. (1)
Доказ.
Розглянемо допоміжну функцію Функція F (х) неперервна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причому F (а) = F (b) = 0. Отже, по теоремі Ролля на (a, b) існує точка x, така, що F '(x) = 0:
В
Отже:
.
В
Теорема доведена.
Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) - французький математик і механік, почесний член Паризької і Петербурзької академій. Йому належать видатні дослідження по математичного аналізу, з різних питань диференціальних рівнянь, по алгебри та теорії чисел, механіці, астрономії. Лагранж вперше ввів в розгляд потрійні інтеграли, запропонував позначення для похідної (y ', f' (x)).
Теорема Лагранжа. Нехай функція f (х) неперервна на [a, b], дифференцируема на інтервалі (a, b). Тоді на (a, b) знайдеться точка x, така, що
В
(2)
Доказ.
З формули (1) при g (x) = x отримуємо формулу (2). p> Теорема доведена.
Рівність (2) називають формулою кінцевих збільшень або формулою Лагранжа про середньому.
Геометричний сенс теореми Лагранжа.
При виконанні умов теореми всередині відрізка [a, b] обов'язково знайдеться хоча б одна точка x, така, що дотична до графіка функції f (x) в точці (x, f (x)) паралельна січною, що проходить через точки А (а, f (а)) і В (b, f (b)) (див. малюнок).
Розглянемо наслідки з теореми Лагранжа:
1. (Умова сталості функції на відрізку). Нехай функція f (x) неперервна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Якщо f '(x) = 0, Е“х ГЋ (a, b), то функція f (x) постійна на [a, b]. <В
2. Нехай функції f (x) і g (х) безупинні на відрізку [a, b], діфференцируєми на інтервалі (a, b), f '(x) = g' (х), Е“х ГЋ (a, b). Тоді f (x) = g (х) + С, де С = const. p> 3. (Умова монотонності функції). Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], дифференцируемая на інтервалі (a, b). Тоді, якщо f '(x)> 0, Е“х ГЋ (a, b), то f (x) строго монотонно зростає на (a, b). Якщо ж f '(x) <0,
Е“х ГЋ (a, b), то f (x) строго монотонно убуває на (a, b).
2. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
2.1 Достатні умови екстремуму функції
У лекції 1 ми розглянули основні теореми математичного аналізу, які широко використовуються при дослідженні функції, побудові її графіка.
За теоремою Ферма: з діфференцируємості функції f (x) в точці локального екстремуму х 0 випливає, що f '(x 0 ) = 0. Дана умова є необхідною умовою існування в точці локального екстремуму, тобто якщо в точці х 0 - Екстремум функції f (x) і в цій точці існує похідна, то f '(x 0 ) = 0. Точки х 0 , в яких f '(x 0 ) = 0, називаються стаціонарними точками функції. За...
