тькові, висловлювався дуже стримано і підкреслював, що відкриття Яноша для нього особисто не є новими.
Справжнім творцем неевклідової геометрії, її систематизатором і першим пропагандистом був наш великий співвітчизник Микола Іванович Лобачевський. p> Н.И.Лобачевский і його геометрія. До початку XIX століття жодна зі спроб довести п'ятий постулат не привела до бажаного результату. Незважаючи на зусилля геометрів, витрачені протягом більш ніж двадцяти століть, завдання обгрунтування теорії паралельних, по суті, залишалася все в тій же стадії, як і в часи Евкліда.
Але перші ж десятиліття XIX століття принесли, нарешті, рішення проблеми п'ятого постулату; тільки рішення це виявилося таким, якого не ждав і до якого не був підготовлений математичний світ цієї епохи.
Слава вирішення цієї знаменитої проблеми належить професору Казанського університету Миколі Івановичу Лобачевському (1793-1856). У його доповіді фізико-математичному факультету Казанського університету, публікувалися, починаючи з 1829 року, уперше чітко виражена і підтверджена думка про те, що п'ятий постулат не може бути виведений з інших постулатів геометрії. Щоб довести це, Лобачевський, зберігаючи основні посилки Евкліда, крім постулату паралельних не здійснюється, і будує логічну систему, пропозиції якої є наслідками прийнятих посилок.
Багато з пропозицій, які отримав Лобачевський, зустрічалися у Саккери і Ламберта при розвитку гіпотези гострого кута. Це й зрозуміло, оскільки гіпотеза гострого кута Саккери і вихідні посилки Лобачевського еквівалентні. Але в той час, як Саккери ставив собі за мету показати, що гіпотеза гострого кута веде до протиріччя і повинна бути відкинута як логічно неприпустима, - Лобачевський, розвиваючи систему своїх теорем, встановлює, що ця система являє собою нову геометрію (він назвав її В«УявлюваногоВ»), яка, як і евклідова, вільна від логічних протиріч.
уявну геометрію Лобачевський розвинув до таких же меж, до яких була розвинена геометрія Евкліда. При цьому Лобачевський НЕ зустрів у ній будь-яких логічних протиріч. Однак він чітко розумів, що це обставина сама по собі не доводить, що Уявна геометрія дійсно несуперечлива, тому що якщо суперечності є, то заздалегідь не можна передбачати, на якій стадії розгортання системи вони можуть виявитися. Щоб довести несуперечність своєї геометрії, Лобачевський зробив глибокий алгебраїчний аналіз основні її рівнянь і тим самим дав рішення цього питання в такій мірі задовільний, в якій це було можливо для того часу.
Доказ несуперечності геометрії Лобачевського на сучасному рівні строгості дано в кінці XIX століття після встановлення загальних принципів логічного обгрунтування геометрії.
Результати досліджень Лобачевського можна резюмувати наступним чином:
Постулат про паралельні не є необхідним наслідком інших постулатів геометрії (як кажуть, логічно від них не залежить).
П'ятий постулат саме не випливає з інших постулатів, що поряд з геометрією Евкліда, в якій цей постулат вірний, можлива інша, В«УявнаВ» геометрія, в якій не має місця.
Лобачевський був ученим-матеріалістом. Матеріалістичні погляди він явно і наполегливо висловлював у своїх творах. Він беззастережно відкидав можливість апріорних знань, зокрема, кантіанський тезу про те, що наші просторові подання є вродженими і не мають досвідченого походження. В«Перші поняття, з яких починається яка-небудь наука, - пише Лобачевський, - повинні бути ясні, і наведені до самого меншого числу. Тоді вони можуть служити міцним і достатньою підставою вчення. Такі поняття купуються почуттями; природженим - не повинно вірити В»(В« Про засадах геометрії В», 1829).
Лобачевський глибоко і тонко розумів співвідношення між геометрією Евкліда і своєї неевклідової геометрією: обидві геометрії логічно несуперечливі, і тому безнадійні всякі спроби логічно довести, що єдино істинною є тільки перша з них; запитання ж про те, яка з цих геометрій більш відповідає властивостям реального простору, повинен бути вирішене досвідом.
В«У моєму творі про початки геометрії, - пише Лобачевський, - я доводив, грунтуючись на деяких астрономічних спостереженнях, що в трикутнику, якого боки майже такі, як відстань від Землі до Сонця, сума кутів може різнитися від двох прямих не більше, 0003 в шістдесятичну секундах градуси. Припущення вживаною Геометрія треба, отже, почуття як би строго доведеними, а разом бути переконаним і в тому, що незалежно від досвіду, марно було б шукати докази на таку істину, яка ще не полягає сама собою у нашому понятті про тіла В»(В« Уявна геометрія В», 1835).
Лобачевський називав геометрію Евкліда В«вживаностіВ», а свою - В«уявноїВ». Це не означає, однак, що він вважав свою геометрію замкнутою в собі чисто логічною системою. Лобачевський вбачав у ній корисний інструмент для математичного аналізу і в цьому плані написав обширну роботу В«Застосування уявної геометрії до деяких інтегралівВ» (18...
