б'єктивно Саккери прийшов до результату, суперечить поставленої ним мети: розвиваючи слідства з гіпотези гострого кута, він отримав, не віддаючи собі в цьому звіту, ряд пропозицій нової геометрії.
У ході подальших досліджень ідеї нової, неевклідової геометрії все більш виразно заявляють про право на існування, їх логічна правомірність виділяється все рельєфніше.
Швейцарський вчений Йоганн Генріх Ламберт (1728 - 1777) розглядав чотирикутник, три кути якого прямі. Щодо четвертого кута він, подібно Саккери, розглядає три логічно можливих припущення (Гіпотези). p> Ламберт зауважив, що гіпотеза тупого кута реалізується на сфері, якщо розглядати на ній дуги великих кіл в якості прямих.
На відміну від Саккери Ламберт чітко розумів, що гіпотезу гострого кута йому спростувати не вдалося. З цього приводу він зауважує: В«Повинна ж існувати причина, чому вона не піддається спростуванню ... Гіпотеза гострого кута тягне за собою існування абсолютної міри довжини. У цьому є щось чудове, що викликає навіть бажання, щоб третя гіпотеза була справедлива ... Я готовий припустити, що вона має місце на якийсь уявної сфері В». Це припущення Ламберта надалі виправдалося самим чудовим чином.
Швейкарт (1780-1859, професор права в Харківському університеті з 1812 по 1817 р.) і Таурінус (1794-1874) вже прямо розглядають геометрію, де сума кутів трикутника не дорівнює. Швейкарт називає свою геометрію В«астральноїВ» (Зоряної), бажаючи цим, мабуть, підкреслити, що він не вважає її реально здійсненною в земних умовах. Таурінус будує свою В«логарифм-сферичнуВ» геометрію на сфері мнимого радіуса.
Були й інші автори, які досліджували ту чи іншу сторону нових геометричних припущень, але їхні роботи не укладали рішучого кроку в області підстав геометрії, що не знаменували скільки-небудь значного перелому у поглядах на геометрію. Щоб широко розкрити систему нової геометрії, щоб показати можливість існування якої іншої геометрії, крім століттями складалася і затверджувалася в суспільній свідомості евклідової геометрії, потрібно було досягти в новій геометрії такий же стрункості та закінченості.
Серед робіт, присвячених нової геометрії, виділяється робота, відома під назвою В«АпендиксВ», написана угорським математиком Яношем Бояи в 1832 році. Батько Яноша, Фаркаш Бояи, все життя займався доказом п'ятого постулату Евкліда, але, звичайно, не досяг мети. Будучи розчарованим в цій проблемі, він переконливо і пристрасно відмовляв сина від занять теорією паралельних. В«Молю тебе, не роби і ти спробу здолати теорію паралельних. Ти витратиш на це все свій час ... Я вивчив всі шляхи до кінця. Я не зустрів жодної ідеї, яка б не була розроблена мною. Я пройшов весь безпросвітний морок цієї ночі, і всякий світоч, усяку радість життя я в ній поховав. Заради бога, молю тебе, залиш цю тему, лякайся її. Цей безпросвітний морок ... ніколи не проясниться на землі ... В»- писав він синові. Але молодий Бояи пішов іншим шляхом: він будував геометрію, В«викладає абсолютно правильне вчення про простір, незалежне від правильності чи хибності п'ятого постулату Евкліда В». І вже в 1828 році, у віці 21 року, він писав батькові: В«Я отримав ... чудові результати ... з нічого я створив цілий світ В». І дійсно, невеликий твір Я.Бояі, що побачило світ тільки в 1832 році, містить досить розвинене і систематичний виклад основ нової геометрії. Але цей твір залишилося в свій час непоміченим, не було зрозуміло сучасниками Бояи.
Необхідні були величезне громадянську мужність, переконаність і самовіддана наполегливість у пропаганді ідей нової геометрії, щоб подолати відсталість сучасників і вікові традицією геометрії.
Характерна в історії відкриття неевклідової геометрії роль одного з найбільших математиків того часу К.Ф.Гаусса (1777-1855). Він багато років займався теорією паралельних і ще в 1824 році писав Таурінус: В«Допущення, що сума кутів трикутника менше, призводить до своєрідної геометрії; ця геометрія абсолютно послідовна, і я розвинув її для себе цілком задовільно В». Однак за все своє життя Гаус серед безлічі своїх наукових робіт не зважився опублікувати жодного дослідження з неевклідової геометрії. В«Я боюся крику беотийцев, який підніметься, коли я висловлю свої погляди В», - писав він Бесселя, натякаючи на обмеженість сучасних математичних кіл. Обережність Гаусса в ставленні до питань неевклідової геометрії не тільки не дозволила йому виступити від свого імені, але завадила навіть підтримати своїм авторитетом інших новаторів геометрії: він замовчував про їхні відкриття і розхолоджував зверталися до нього авторів у їх намірах. В«Оси, гніздо яких ви руйнуєте, здіймуться над Вашою головою В», - писав він Герлинг, прислало йому свою роботу про паралельні. Захоплено відгукуючись в одному з приватних листів про В«апендиксВ» і називаючи молодого Бояи В«генієм першої величиниВ», Гаус тим не менше не надав йому необхідної моральної підтримки і у відгуку, направленому його ба...
