b 2 , то = а 1 b 1 + а 2 b 2 ... a n b n В
Теорема 3. Нехай ( а 1 а 2 ... а n ), ( b 1 b 2 ... b n ) - одномонотонние послідовності і () перестановка чисел b 1 b 2 ... b n . Тоді
.
Доказ.
Дійсно, якщо послідовність () відрізняється від (b 1 b 2 ... b n ) то знайдеться пара чисел k, l (1k k , a l ) і (b k , b l ) НЕ одномонотонни. Значить, помінявши місцями числа і і, ми збільшимо всю суму, а значить і всю суму. Тобто
,
так як.
Очевидно, що за кінцеве число попарних перестановок елементів 2-ий рядки можна отримати одномонотонную послідовність.
Теорема доведена.
Слідство.
Для будь-якого nN вірно
.
Доказ.
В
Але послідовності (а 1 а 2 ... а n ) і () не є одномонотоннимі, і тому ми не можемо скористатися теоремою 3.
Однак ці послідовності протівомонотонни: числа в послідовностях розташовані в зворотному порядку - найбільшому за величиною відповідає саме маленьке, а найменшому відповідає найбільше. А з протівомонотонних послідовностей зробити одномонотонние дуже просто - достатньо всі числа другої лінії взяти зі знаком мінус. У даному випадку одномонотоннимі є послідовності
(а 1 а 2 ... А n ) і ()
Тому
В
Звідси і випливає шукане нерівність
Слідство
Для будь-якого nN вірно
В
(Нерівність Чебишева).
Доказ.
У силу теореми 3 справедливі наступні n нерівності
В
Значить
В В
У цих нерівностях ліва частина не змінюється, а в правій частині елементи другого рядка змінюються циклічно.
Складаємо все і отримуємо br/>В
Що і потрібно довести
Вправа № 1.
Нехай a і b і c - позитивні речові числа.
Доведіть нерівність.
Доказ.
Зауважимо, перш за все, що
a 3 + b 3 + c 3 + d 3 =, a 2 b + b 2 c + c 2 d + d 2 a =.
А так як послідовності
(a 2 , b 2 , c 2 , d 3 ), (a, b, c, d)
одномонотонни, то
.
А це означає, що
Що і потрібно довести.
Доказ цього нерівностей з допомогою одномонотонних послідовностей я не можу порівняти з іншим доказом, так як довести іншим способом це нерівність я не змогла.
2.5 Випадок з n послідовностями з n змінних
Розглянемо одномонотонние послідовність (а 1 , а 2 , ... а n ), (b 1 , b 2 , ... b n ), ... (d 1 , d 2 , ..., d n ).
Якщо = a 1 b 1 , і = а 1 b 1 + а 2 b 2 , і = а 1 b 1 + а 2 b 2 ... a n b n
то = а 1 b 1 ... d 1 + а 2 b 2 ... d 2 + ... + a n b n ... d n
Теорема 4. Розглянемо одномонотонние послідовності (а 1 , а 2 , ... а n ), (b 1 , b 2 ... b n ), ..., (d 1 , d 2 ..., d n ). Тоді
.
Доказ.
Дійсно, якщо послідовність (A 1 , а 2 , ... а n ), (b ' 1 , b' 2 ... b ' n ), ..., (d' 1 , d ' 2 , ..., d' n ) відрізняється від (а 1 , а 2 , ... а < sub> n ), (b 1 , b 2 , ... b n ), ..., (d 1 , d 2 , ..., d n ), то знайдуться змінні k, l (1k k , a l ) і (b k , b l ) ... (d k , d l ) НЕ одномонотонни. Значить, помінявши місцями числа,, a k , a l ... d k , d l ми збільшимо всю суму, а значить і всю суму. То
є
,
так як.
Очевидно, що за ...
