Ця формула є аналогом формули Гріна, яка, як відомо, встановлює зв'язок кріволінійного інтеграла по замкненому контуру з подвійнім інтегралом по плоскій области, обмеженій ЦІМ контуром.
Нехай Замкнена область обмеже замкненому поверхню, причому знизу та зверху обмеже гладкими Поверхні та, рівняння якіх ту (рис. 7).
В
Малюнок 7 - Замкнена область
Припустиме, что проекцією области на площинах є область. Нехай в области Визначи неперервно функцію, яка в Цій области має неперервно похідну. p> Розглянемо Потрійний інтеграл
.
У правій частіні цієї рівності перший подвійний інтеграл запішемо помощью Поверхнево інтеграла по зовнішній стороні поверхні, а другий подвійний інтеграл - по зовнішній стороні поверхні. ВРАХОВУЮЧИ куті между нормаллю та віссю, отрімуємо
. (13)
Аналогічно, Припустити, что Функції, неперервні в области, можна отріматі формули
, (14)
. (15)
Дода почленно рівності (13), (14) і (15), отрімаємо формулу
, (16)
якові назівають формулою Остроградського-Гаусса. Ця формула справедлива и для довільної области, якові можна Розбита на скінченне число областей, для якіх віконуються рівності (13) - (15).
За помощью формули Остроградського-Гаусса ЗРУЧНИЙ обчіслюваті поверхневі інтегралі по замкненому поверхнях.
4. Формула Стокса
Формула Стокса встановлює зв'язок между Поверхнево и кріволінійнім інтеграламі. Нехай - поверхня, задана рівнянням, причому Функції - неперервні в области - проекції поверхні на площинах; - контур, Який обмежує, а - Проекція контуру на площинах, тоб - межа области.
Віберемо верхню сторону поверхні (рис. 8).
В
Малюнок 8 - Поверхня
Если функція неперервно разом Із своими частинними похіднімі Першого порядку на поверхні, то справедлива формула
. (17)
Поверхнево інтеграл формула стокс
Доведення
Перетворімо кріволінійній інтеграл, Який містіться у лівій частіні рівності (17). Оскількі контур лежить на поверхні, то координати его точок задовольняють рівняння, и тому значенню Функції у точках контуру дорівнюють значеннями Функції у відповідніх точках контуру. Звідсі віпліває, что
.
Застосовуючі до знайдення інтеграла формулу Гріна, отрімаємо
.
Тут підінтегральна функція дорівнює частінній похідній по від складеної Функції.
Оскількі - Верхня сторона поверхні, тоб (- гострий кут между нормаллю до поверхні и віссю), то нормаль має проекції. Альо напрямні косинуси нормалі пропорційні відповіднім проекціям, того
,
Тоді
В
Отже,
.
Аналогічно можна довести, что при відповідніх умів справедливі формули:
; (18)
. (19)
Додаючі почленно рівності (17), (18) і (19), отрімуємо формулу
,
яка назівається формулою Стокса. За помощью формули (8), яка пов'язує поверхневі інтегралі Першого та іншого роду, Цю формулу можна записатися так:
(20)
Формула Стокса Дає змогу обчіслюваті кріволінійні інтегралі по замкнутому контуру за помощью Поверхнево інтегралів.
Зх формули Стокса віпліває, что коли віконуються рівності
, (21)
то кріволінійній інтеграл по довільному просторова замкненому контуру дорівнює нулю:
. (22)
А це означає, что в даним випадка кріволінійній інтеграл НЕ поклади від форми контуру інтегрування.
В
