>),
тобто О» 1 (і 1 , і 2 ) = О› 2 (і 1 , і 2 ). Звідси, оскільки О» 1 в‰ О» 2 , випливає, що скалярний добуток (і < sub> 1 , і 2 ) дорівнює нулю. Теорема доведена. p> Припустимо, що безліч власних значень ермітовим оператора L не більше ніж лічильно, а кожне власне значення кінцевої кратності. Перенумеруем всі його власні значення: О» 1 , О» 2 , ..., повтори О» k стільки разів, яка його кратність. Відповідні власні функції позначимо через і 1 , і 2 , ... так, щоб кожному власному значенню відповідала тільки одна власна функція і k :
В В
Lu k = О» k , і k , k = 1 , 2, ...
Власні функції, відповідні одному і тому ж власному значенню, можна вибрати ортонормального, використовуючи процес ортогоналізації Шмідта. Всяка ортонормального система { П† k } складається з лінійно незалежних функцій. Всяка система П€ 1 , П€ 2 , ... лінійно незалежних функцій з L 2 (G) перетворюється на ортонормального систему П† 1 , П† 2 , - Наступним процесом ортогоналізації Шмідта:
В
П† 1 = П€ 1 /| | П€ 2 | |, П† 2 = П€ 2 - ( П€ 2, П† 1 ) П† 1 /| | П€ 2 - ( П€ 2, П† 1 ) П† 1 | |
П† k = П€ k - ( П€ k , П† k -1 ) П† k -1 - ... - ( П€ k , П† < sub> 1 ) П† 1 /| | П€ k - ( П€ k , П† k -1 ) П† k -1 - ... - ( П€ k , < i> П† 1 ) П† 1 | |
При цьому знову виходять власні функції, що відповідають тому ж самому власному значенню. За доведеною теоремі власні функції, які відповідають різним власним значенням, ортогональні.
Таким чином, якщо система власних функцій { і до } ермітовим оператора L не більше ніж лічильно, то її можна вибрати ортонормального:
В
( Lu k , u i ) = О» k (і k , u i ) = О» k Оґ ki
В
Список літератури
1 . Владимиров BC, Жарінов В. В. Рівняння математичної фізики: Підручник для вузів. - М.: Фізмат-літ, 2000. p> 2. Владимиров В. С. Рівняння математичної фізики. - Вид. 5-е. - М.: Наука, 1985. p> 3. Нікольський СМ. Математичний аналіз.-Вид. 5-е. - М.: Фізмат-літ, 2000. br/>
