ному власному значенню О», називається кратністю цього власного значення; якщо кратність r = 1, то О» називається простим власним значенням.
Якщо кратність r власного значення О» оператора L конечна і u 1 , ..., і 2 - відповідні лінійно незалежні власні елементи, то будь-яка їх лінійна комбінація
В
u 0 = c 1 u 1 + c < sub> 2 u 2 + ... + c r u r
також є власним елементом, відповідним цьому власному значенню, і наведена формула дає загальне рішення рівняння (5). Звідси випливає: якщо рішення рівняння
В
Lu = О» u + f (6)
існує, то його спільне рішення представляється формулою
В
і = і * + ОЈс k і k , (7)
де і * - приватне рішення (6) і з k , k = l, 2, ..., r, - довільні постійні.
В
ермітовим оператори
Лінійний оператор L , переводить M L З L 2 ( G ) в L 2 (G), називається ермітовим, якщо його область визначення M L щільна в L 2 (G) і для будь-яких f і g з M l справедливо рівність
В
( Lf , g ) = ( f , Lg ).
Вирази ( Lf , g ) і ( < i> Lf , f ) називаються відповідно билинейной і квадратичної формами, породженими оператором L .
Для того щоб лінійний оператор L був ермітовим, необхідно і достатньо, щоб породжена ним квадратична форма ( Lf , f ), f Є M l , де M l щільна в L 2 (G) , приймала тільки речові значення.
Лінійний оператор L , переводить M l З L 2 (G) в L < sub> 2 (G) , називається позитивним, якщо M l щільна в L 2 (G) і
(L f , f ) ≥ 0, f Є < i> M l .
У Зокрема, всякий позитивний оператор Ерміта.
Теорема. Якщо оператор L Ерміта (позитивний), то всі його власні значення речовинні (ненегативні), а власні функції, які відповідають різним власним значенням, ортогональні .
Доказ. Нехай О» 0 - власне значення, u 0 - відповідна нормована власна функція ермітовим оператора L , L u 0 = О» 0 u 0 . Множачи скалярно це рівність на u 0 , отримаємо
В
( L u 0 , u 0 ) = ( О» 0 u 0 , u 0 ) = О» 0 ( u 0 , u 0 ) О» 0 | | u 0 | | 2 = О› 0 . (8)
Але для ермітовим (позитивного) оператора квадратична форма ( Lf , f ) приймає тільки речові (невід'ємні) значення, і, стало бути, в силу (7) О» 0 - речовий (Невід'ємне) число. p> Доведемо, що будь-які власні функції і 1 і і 2 , відповідають різним власним значенням О» 1 і О» 2 , ортогональні. Дійсно, з співвідношень
В
Lu 1 = О» 1 і 1 , Lu 2 = О» 2 і 2 ,
з матеріальність О» 1 і О» 2 і з ермітовим оператора L отримуємо ланцюжок рівностей
О» 1 (і 1 , і 2 ) = ( О» і 1 , і 2 ) = ( L і 1 , і 2 ) = (і 1 , Lu 2 ) = (і 1 , О» 2 і 2 ) == О› 2 (і 1 , і 2 < i...
