Вступ
У цій роботі ми познайомимося з рівнянням Бесселя і його застосуванням у рівняннях математичної фізики. Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком Данилом Бернуллі, а названі на честь Фрідріха Бесселя. br/>
1. Фрідріх Вільгельм Бессель
німецький математик і астроном XIX століття. Народився 22 липня 1784 у Міндені. Самостійно вивчав математику й астрономію, в 1804 обчислив орбіту комети Галлея. У 1806 став асистентом великого астронома І. Шретера в ЛІЛІЄНТАЛЬ, незабаром придбав репутацію видатного астронома-спостерігача і обчислювача-математика. У цій якості в 1810 був запрошений до Кенігсберзький університет для організації обсерваторії, директором якої залишався до кінця життя. Вважаючи, що в результати спостережень необхідно вносити поправки, що враховують наявність самих незначних факторів, Бессель розробив математичні методи корекції результатів спостережень. Першою роботою в цьому напрямку стала коригування положень зірок у каталозі, складеному в 18 в. англійським астрономом Дж. Брадлеем. Надалі Бессель сам вів спостереження за зірками; в 1821-1833 він визначив положення більше 75 тис. зірок і склав величезні каталоги, які лягли в основу сучасних знань про зоряному небі. p align="justify"> Бессель одним з перших виміряв параллакси зірок і відстань до них. У 1838 визначив відстань до подвійної зірки 61 Лебедя, що опинилася однією з найближчих до Сонячної системи. Спостерігаючи протягом ряду років яскраві зірки Сіріус і Проціон, Бессель виявив в їх траєкторії такі особливості, які можна було пояснити тільки наявністю супутників. Ці припущення згодом підтвердилися: у 1862 був виявлений супутник Сіріуса, а в 1896 - супутник Проциона. Відомі роботи Бесселя в галузі геодезії (визначення довжини секундного маятника, винахід базисного приладу). p align="justify"> Рівняння Бесселя виникає під час знаходження рішень рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндричних і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при вирішенні багатьох завдань про поширення хвиль, статичних потенціалах і т.п., наприклад:
В· електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;
В· теплопровідність в циліндричних об'єктах;
Функції Бесселя застосовуються і у вирішенні інших завдань, наприклад, при обробці сигналів.
. Рівняння Бесселя
При вирішенні багатьох задач математичної фізики приходять до лінійного диференціального рівняння:
(1)
де - постійна. Це рівняння зустрічається також у багатьох питаннях фізики, механіки, астрономії і т.п. Рівняння (1) називається рівнянням Бесселя . Оскільки рівняння (1) має особливу точку x = 0, то його приватне ріше...
