сті {an} буде виконуватися для всіх номерів n, починаючи з деякого номера N.
Приклад. Знакозмінні ряд
В
сходиться, так як
і
Теорема 4 дозволяє оцінити n-й залишок
В
Аналізованого ряду, який також є Знакозмінні поруч. За абсолютною величиною залишок буде не більше абсолютної величини першого свого члена,. Так як, то
В
т.е абсолютна похибка, що виходить при заміні суми Знакозмінні ряду його n-й часткової сумою, що не перевищує абсолютної величини першого з відкинутих членів ряду.
Приклад. Обчислити наближено суму ряду
,
Обмежившись чотирма членами, і оцінити похибку.
в—„ Збіжність ряду очевидна. Покладемо наближено
В
Тоді
.
Абсолютна похибка не перевершує. в–є
5. Знакозмінні ряди
Абсолютно і умовно сходяться ряди
Числовий ряд
,
членами якого є дійсні числа будь-якого знаку, називається знакозмінним. Знакозмінними будуть, наприклад, ряди
,
(плюс, два мінуси, плюс, два мінуси і т.д.).
Поряд зі знакозмінною поруч
В
розглянемо ряд, складений з абсолютних величин його членів, тобто
,
і доведемо наступну теорему.
Теорема 5. Якщо сходиться ряд
,
то сходиться і ряд
В
в—„ З подвійного нерівності отримуємо
для n = 1, 2, ....
Нехай ряд
В
сходиться. Тоді ряд
В
також буде сходитися, а за ознакою порівняння буде збіжним і ряд
.
Але ряд є різниця двох збіжних рядів
,
тому він також буде збіжним. в–є
Слідство. Якщо ряд
В
сходиться, то справедливо нерівність
.
в—„ Для будь-якого натурального числа k має місце нерівність
,
тобто
,
Переходячи до межі при, отримаємо
,
Або
. в–є
При дослідженні ряду
В
на збіжність можна застосовувати всі достатні ознаки збіжності, встановлені для знакоположітельних рядів.
Зауваження. З збіжності ряду
В
збіжності ряду
В
взагалі кажучи, не слід, тобто доведена теорема дає лише достатня умова збіжності знакозмінного ряду.
Приклад 1. Ряд
В
сходиться за ознакою Лейбніца, але ряд, складений з абсолютних величин його членів,
В
- це гармонійний ряд, який розходиться.
Визначення. Знакозмінний числовий ряд
В
називається абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд
.
Ряд
В
називається умовно збіжним, якщо він сходиться, а ряд
В
розходиться.
Приклад 2. Числовий ряд
В
(плюс, два мінуси, плюс, два мінуси і т.д.) є абсолютно збіжним, так як ряд, складений з абсолютних величин його членів,
,
сходиться. Ряд з прикладу 1 є умовно збіжним. p> Відзначимо наступні властивості абсолютно збіжних та умовно збіжних рядів.
Теорема 6. Абсолютно сходитися ряд при будь перестановці його членів залишається абсолютно збіжним, і його сума не змінюється.
Зауваження. Затвердження теореми справедливо для будь-якого сходиться знакопостоянного ряду.
Умовно сходяться ряди цією властивістю не володіють.
Теорема 7. Якщо ряд сходиться умовно, то, яке б не було наперед взяте число A,
можна так переставити члени цього ряду, що перетворений ряд буде мати своєю сумою число A.
Більше того, члени умовно сходиться ряду можна представити так, що отриманий після переустановлення ряду буде розбіжним.
Приклад. Розглянемо умовно сходитися ряд
,
суму якого позначимо через S. Переставимо члени ряду так, щоб за кожним позитивним членом слідували два чергових негативних. Тоді отримаємо ряд
В
Покажемо, що він збігається і його сума дорівнює. Розглянемо підпослідовність його часткових
сум:
,
В
=,
В
=, ....
Неважко переконається в тому, що вона сходиться до. А з того, що
В В
отримуємо, що існує і він дорівнює.
Таким чином, при зазначеної перестановці членів ряду, ми отримаємо сходитися ряд, сума якого в два рази менше суми вихідного ряду
Список використаних джерел
1. В«Курс математичного аналізуВ», автор - Нікольський С.М., м. Москва, вид. В«НаукаВ», 1990р. p> 2. В«Вища математикаВ», автор - Щипачов А.В., м. Москва, вид. В«Вища школаВ», 1996р. br/>
