Г = ; mB = 2P; В = .
За теоремою Ейлера, В - Р + Г = 2 і, отже,
В
Звідки Р = .
З отриманого рівності, зокрема, випливає, що повинно виконуватися нерівність 2n + 2m - nm> 0, яке еквівалентно нерівності (n - 2) (m - 2) <4.
Знайдемо всілякі значення n і m, що задовольняють знайденому нерівності, і заповнимо наступну таблицю
N m3453B = 4, Р = 6, Г = 4 тетраедрВ = 6, Р = 12, Г = 8 октаедрВ = 12, Р = 30, Г = 20 ікосаедр4В = 8, Р = 12, Г = 4 кубНе существуетНе существует5В = 20, Р = 30, Г = 12 додекаедрНе существуетНе існує
Наприклад, значення n = 3, m = 3 задовольняють нерівності (n - 2) (m - 2) <4. Обчислюючи значення Р, В і Г за наведеними вище формулами, отримаємо Р = 6, В = 4, Г = 4. p align="justify"> Значення n = 4, m = 4 не задовольняють нерівності (n - 2) (m - 2) <4 і, отже, відповідного багатогранника не існує.
Самостійно перевірте інші випадки.
З цієї таблиці випливає, що можливими топологічно правильними многогранниками є тільки правильні багатогранники, перераховані вище, і багатогранники, їм еквівалентні.
Вправи
. Скільки вершин, ребер і граней мають: а) тетраедр, б) октаедр; в) куб; г) ікосаедр; д) додекаедр? p align="justify"> Відповідь: а) В = 4, Р = 6, Г = 4, б) У = 6, Р = 12, Г = 8, в) У = 8, Р = 12, Г = 6; г) У = 12, Р = 30, Г = 20; д) В = 20, Р = 30, Г = 12.
. Чому рівні плоскі кути додекаедра? p align="justify"> Відповідь: 108
. Уявіть багатогранник - біпіраміди, складену з двох правильних тетраедрів суміщенням їх підстав. Чи буде він правильним многогранником? p align="justify"> Відповідь: Ні
. Чи є просторовий хрест (фігура, складена з семи рівних кубів, рисунок 12) правильним многогранником? Скільки квадратів обмежує його поверхню? Скільки у нього вершин В і ребер Р? p align="justify"> Відповідь: Ні, 30 квадратів, В = 32, Р = 60.
В
. Ребро октаедра дорівнює 1. Визначте відстань між його протилежними вершинами. p align="justify"> Відповідь: .
. Доведіть, що в октаедрі протилежні ребра паралельні. p align="justify">. Скільки фарб потрібно для розмальовки граней правильних багатогранників, так, щоб сусідні грані були пофарбовані в різні кольори? p align="justify"> Відповідь: Тетраедр - 4, куб - 3, октаедр - 2, ікосаедр - 4, додекаедр - 4.
. У многограннике вирізали одну грань і останні грані розтягнули на площині. Намалюйте відповідні графи для правильних багатогранників. Якому багатограннику відповідає граф на малюнку 13? p align="justify"> Відповідь: Октаедр.
Напівправильні багатогранники
багатогранник Ейлер куб опуклий
У попередньому параграфі ми розглянули правильні багатогранники, тобто такі опуклі багатогранники, гранями яких є рівні правильні багатокутники, і в кожній вершині яких сходиться однакове число граней. Якщо в цьому визначенні допустити, щоб гранями багатогранника могли бути різні правильні багатокутники, то отримаємо багатогранники, які називаються напівправильними (Рівнокутна напівправильними). ​​p align="justify"> напівправильні многогранником називається опуклий багатогранник, гранями якого є правильні багатокутники (можливо, і з різним числом сторін), і все багатогранні кути рівні.
До напівправильні багатогранників відносяться правильні n-вугільні призми, всі ребра яких дорівнюють. Наприклад, правильна п'ятикутна призма на малюнку 14 має своїми гранями два правильних п'ятикутника - підстави призми і п'ять квадратів, що утворюють бічну поверхню призми. До напівправильні багатогранників відносяться і так звані антіпрізми. На малюнку 15 ми бачимо п'ятикутну антіпрізму, отриману з п'ятикутною призми поворотом однієї з підстав щодо іншого на кут 36 . Кожна вершина верхнього і нижнього підстав з'єднана з двома найближчими вершинами іншої основи.
В
Крім цих двох нескінченних серій напівправильні багатогранників є ще 13 напівправильні багатогранників які вперше відкрив і описав Архімед - це тіла Архімеда.
Найпростіші з них виходять із правильних багатогранників операцією "усічення", що складається у відсіканні площинами кутів багатогранника. Якщо зрізати кути тетраедра площинами, кожна з яких відсікає третю частину його ребер, що виходять з однієї вершини, то отримаємо усічений тетраедр, який має вісім граней (рис. 16). З них чотири - правильні шестикутники і чотири - правильні трикутники. У ...
