астивість всякої композиції перетворень, отримуємо. Далі. Враховуючи, що перетворення, зворотне композиції даних перетворень, є композицією зворотних їм перетворень, взятих в зворотному порядку, тобто , Отримуємо. Нарешті,. p> Якщо перетворення f інволютивно, те і те і f g також інволютивно. Справді, якщо, але f в‰ Е , то, але f g в‰ Е , так як з f g = Е слід f = Е .
Теорема про нерухомій точці . Якщо А - нерухома точка перетворення f , то g < i> ( A ) - нерухома точка перетворення f g , і назад:
f (A) = A ↔ f g (g (A)) = G (A).
Доказ. Якщо f (A) = A, то f g (g (A)) = g (f (g -1 (g (A)))) = = G (f (A)) = g (A) . Назад, якщо f g (g (A)) = g (A) , тобто g (f (g -1 (g (A)))) = G (A), то g (f (A)) = g (A) . Оскільки при перетворенні образи будь-яких двох різних точок не збігаються, то зі збігу образів точок f ( A ) і A при перетворенні g слід і збіг цих точок: f ( A ) = A . [1]
Аналогічна теорема має місце і для подвійних прямих.
2. Трансформація руху рухом
Застосуємо тепер розглянуті формули і властивості до рухів. Якщо f і g - руху, то, в силу (1), f g - теж рух. Більше того, так як нерухомі точки руху f переходять в нерухомі точки руху f g , а вид руху характеризується його нерухомими точками, то обидва рухи - f і f g - одного і того ж виду, незалежно від руху g .
2.1. Трансформація осьової симетрії рухом
Беручи до уваги попереднє властивість нерухомих точок і подвійних прямих, одержимо
( S l ) g = S g ( l ) . (3)
За допомогою цієї формули можна отримати аналогічні формули для інших рухів приватного виду. Для цього знайдемо спочатку:
. [1]
2.2. Трансформація паралельного переносу рухом
Якщо прямі u і v паралельні, то відображення g відображає їх на паралельні прямі g (u) і g ( v ) із збереженням відстані між ними. Отже, якщо, то
. (4)
Зокрема, якщо g є поворот, то по властивості повороту орієнтований кут між векторами і дорівнює куту О± повороту. Звідси з рівності випливає, що результат повороту вектора не залежить від цент...
