ру повороту.
Теорема. Для будь-якого вектораВ , Будь-якого дійсного числа х і переміщення g має місце рівність:
. (5)
Доказ. Якщо, то в силу (4). Так як рух g зберігає величину кута між векторами, а значить, і зберігає, зокрема, їх сонаправленнимі або противонаправленность, то з або випливає відповідно або. Звідси і з рівності випливає (5). p> Доведена залежність (5) за допомогою першої формули (2) узагальнюється на таку:
. (6)
Дійсно,.
Ясно, що залежність виду (6) буде справедлива і для лінійної комбінації будь-якого числа векторів. [1]
2.3. Трансформація повороту рухом
Далі, якщо u ∩ v = O , то g ( u ) ∩ g ( v ) = g ( O ) і ( g ( u ), g ( v )) = ( u , v ) , якщо g - рух 1-го роду, і ( g ( u ), g ( v )) = - ( u , v ) , якщо g - рух 2-го роду. Тому, якщо, то
(7)
де знак В«+В» береться при русі g 1-го роду і В«-В» - при русі g другого роду. [1]
Зокрема, якщо пряма l проходить через т. Про перетину прямих u і v , то
. (8)
2.4. Трансформація центральної симетрії рухом
Так як центральна симетрія - окремий випадок повороту, а саме - поворот на 180 В°, тоВ , А в силу формули (7), а це, у свою чергу, Z g ( O ) . Таким чином,
( Z O ) g = Z g ( O ) . (9)
2.5. Трансформація дзеркальної симетрії рухом
Розглянемо трансформацію перетворення простору - дзеркальної симетрії. Нерухомими точками перетворення є точки g ( О± ) , які також утворюють площину (По властивості руху), значить,
. (10)
2.6. Трансформація повороту щодо осі рухом
Поворот щодо осі l на кут О± - це перетворення простору, композиція двох дзеркальних симетрій щодо площин ОІ і Оі таких, що ОІ ∩ Оі = l , (ОІ, Оі) = О± . Зауважимо, що в даному прикладі рух g також має бути рухом простору, тому воно не може бути поворотом відносно точки. Далі,, за формулами (2) це дорівнює (за (10)). Нехай g (ОІ) ∩ g (Оі) = m , ( g (ОІ),
