Лемма. Якщо на безлічі Е задані дві вимірні функції f (х) і g (х), то безліч Е ( f > g ) вимірюється.
Дійсно, якщо ми перенумеруем всі раціональні числа r 1, r 2 , r 3 , ..., то легко перевіримо справедливість співвідношення
Е (f> g) = Е (f> r k ) Е (g k ),
звідки і слід лема.
Теорема 1. Нехай f (х) і g (х) суть кінцеві вимірні функції, задані на множині Е. Тоді вимірна кожна з функцій 1) f (х) - g (х ), 2) f (х) + g (х), 3) f (х) . g (х), і якщо g (х) В№ 0, то вимірна також функція 4) .
Д про до а із а т е л ь с т в о. 1) Функція а + g (х) вимірна при будь-якому а . Значить (на підставі леми), безліч Е (f> а + g ), а так як E (f-g> a) = E (f> a + g), то вимірна функція f (х) - g (х).
2) Вимірність суми f (х) + g (х) випливає з того, що
f (х) + g (х) = f (х) - [- g (х)].
3) Вимірність твори f (x) . g (x) випливає з тотожності
f (x) . g (x) = {[f (x) + g (x)] - [f (x)-g (x) ]}
і теореми 7
4) Нарешті, вимірність приватногоВ є наслідок тотожності
= f (x) В·.
Ця теорема показує, що дії арифметики, будучи застосовані до вимірюваних функцій, що не виводять нас за межі цього класу функцій. Наступна теорема встановлює подібний результат щодо вже не арифметичної операції - граничного переходу.
Теорема 2. Нехай на множині Е задана послідовність вимірних функцій f 1 ( x ), f 2 ( x ), ... Якщо в кожній точці х Е існує (кінцевий або нескінченний) межа
F (x) = f n (x),
то функція F (х) вимірна.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Фіксуємо довільні а і введемо в розгляд безлічі
А = Е (f> a +), В =.
Ці безлічі, очевидно, вимірні, і для доведення теореми достатньо перевірити, що
E (F> a) =.
Займемося ж перевіркою цієї тотожності.
Нехай х Е (F> a), тоді F (x 0 )> a, і знайдеться таке натуральне m , що F (x 0 )> a + 1/m. Оскільки ж f k (x) F (x 0 ), то знайдеться таке n, що при kn буде
f k (x 0 )> a +.
Інакше кажучи, х 0 А при всіх kn, а тоді х 0 В і тим більше х 0 . Звідси випливає, що Е (F> a). p> Тепер залишається встановити зворотне включення
E (F> a),
і теорема...
