>
. (11)
Таким чином, операція, застосована до, знижує в цьому виразі індекс на одиницю. Застосовуючи цю операцію раз, отримуємо:
. (11 `)
З виведених формул можна отримати деякі слідства. Використовуючи (10), отримаємо:
;;.
Звідси, в Зокрема, треба, що. Використовуючи (11), отримаємо:
;;.
Почленне додавання і віднімання отриманих рівностей дає:
, (12)
. (13)
Формула (13) дозволяє висловити всі бесселевих функції з цілими індексами через,. Дійсно, з (13) знаходимо (вважаючи):
, (13 `)
звідки послідовно отримуємо:
,
, .....................
3. Бесселевих функції з напівцілим індексом
бесселевих функції, взагалі кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виняток становлять бесселевих функції з індексом, де - ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції. p> Маємо:
,
,
отже,
.
Але, означає:
. (14)
Далі
,
,
отже,
.
Але, тому
. (15)
За допомогою (10 `) знаходимо:
,
а враховуючи (14)
,
отже, при цілому позитивному
. (14 `)
За допомогою (11 `) знаходимо:
,
але в силу (15)
,
і, отже, при цілому позитивному
. (15 `)
4. Інтегральне представлення бесселевих функцій з цілим індексом
Виробляюча функція системи функцій
Розглянемо систему функцій (з будь-якої загальної областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:
В
Складемо ряд
,
де - комплексна змінна. Припустимо, що при кожному (приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність. Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і в€ћ.
Функція
(16)
(де x лежить в області визначення функцій системи, - усередині кільця збіжності, відповідного розглядався значенням) називається виробляє функцією системи.
Зворотно, нехай задана функція, де пробігає деякий безліч, знаходиться всередині деякого кільця, залежного від, з центром 0 і містить усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо при кожному аналитична щодо всередині відповідного кільця, тобто виробляє функція деякої системи функцій. Справді, розклавши при кожному функцію в ряд Лорана по ступенях:
,
знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканої системою. p> Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляє функцію. Застосовуючи ці формули і перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності в простій інтеграл, отримаємо:
. (17)
Виробляюча функція системи бесселевих функцій із цілими інде...
