ксами
Покажемо, що для системи бесселевих функцій першого роду з цілими індексами (...) виробляє функція є:
.
Маємо:
,,
звідки після почленного перемноження цих рівностей знайдемо:
В
(так як в передостанній внутрішньої сумі і були пов'язані залежністю, то ми могли покласти, отримавши підсумовування по одному індексом). У останньої внутрішньої сумі підсумовування проводиться по всіх цілим, для яких, отже, при це буде; при це буде. Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є в силу формул (5 `) і (5 `` `). Отже,
, (18)
але це і доводить, що є виробляє функція для системи. p> Виведемо деякі слідства з формули (18). Вважаючи в ній, отримаємо:
,
звідки після поділу дійсної та уявної частини (враховуючи, що)
(18 `)
(18 ``)
Замінюючи в (18 `) і (18 ``) на, знайдемо:
, (18 `` `)
. (18 `` ``)
Інтегральне подання J n (x)
Бо, за доведеному, при маємо, то за формулою (17) отримуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):
В
де прийнято під увагу, що є парна функція від є непарна функція від. Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа
. (19)
Формула (19) дає подання бесселевих функцій з цілим індексом у вигляді певного інтеграла, залежного від параметра. Ця формула називається інтегральним поданням Бесселя для, права частина формули називається інтегралом Бесселя. Зокрема, при знайдемо:
. (19 `)
5. Ряди Фур'є-Бесселя
Розглянемо на -якому інтервалі (кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння
,, (20)
де і - безперервні функції на. Нехай і - ненульові рішення цих рівнянь. Множення на і на і подальше віднімання дають
.
Нехай і належать і, тоді після інтегрування в межах від до одержимо
. (21)
Якщо і - сусідні нулі рішення, то між і зберігає постійний знак, нехай, наприклад, на (,) (у противному випадку слід замінити на), тоді, (рівність нулю виключено, так як - ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на, то повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між і, так як інакше збереже постійний знак на (,). Нехай, наприклад, на (,) (В іншому випадку замінюємо на ), І тоді з (21) отримаємо протиріччя, бо ліва частина ≤ 0, а права> 0. Таким чином доведена теорема порівняння Штурму: якщо P (x)
З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені слідства. Якщо на, то кожне ненульове рішення рівняння може мати на не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти і взяти). Якщо на (де), то для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти, взяти і помітити, що нулями будуть тільки числ...
