випадку, позначаючи незалежну змінну буквою (замість), а невідому функцію - буквою (замість), знайдемо, що рівняння Бесселя має вигляд:
. (4)
Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє велику роль у додатках математики. Функції, йому задовольняють, називаються бесселевих, або циліндричними, функціями.
бесселевих функції першого роду
Будемо шукати рішення рівняння Бесселя (4) у вигляді ряду:
.
Тоді
,
,
,
В
.
Отже, приходимо до вимоги
В
або до нескінченної системі рівнянь
,
яка розпадається на дві системи:
В
Перша з них задовольниться, якщо взяти ... У другій системі можна взяти довільно; тоді ... однозначно визначаються (якщо не є цілим негативним числом). Взявши
,
знайдемо послідовно:
,
,
,
і в якості рішення рівняння (4) одержимо ряд:
В
Цей ряд, формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області (у разі цілого в області). p> Функція
(5)
називається бесселевих функцією першого роду з індексом. Вона є одним з рішень рівняння Бесселя (4). У разі цілого невід'ємне індексу отримаємо:
, (5 `)
і, зокрема,
. (5 ``)
Загальне рішення рівняння Бесселя
У разі нецілого індексу функції і є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, так як початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені. Таким чином, у разі нецілого індексу спільне рішення рівняння Бесселя є:
. (6)
Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена ​​формулою (5) (враховуючи, що дорівнює нулю для ...), приймає вигляд:
(5 `` `)
або, після заміни індексу підсумовування на,
, (7)
звідки видно, що задовольняє разом з рівнянням Бесселя
.
Але формула (6) у випадку цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).
Вважаючи
(- не ціле) (8)
і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:
, (8 `)
отримаємо функцію, що задовольняє рівнянню Бесселя (4) і в усіх випадках лінійно незалежну від (у випадку, де - ціле). Функція називається бесселевих функцією другого роду з індексом. Загальне рішення рівняння Бесселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:
. (9)
2. Формули приведення для бесселевих функцій
Маємо:
;;
,;
.
Отже,
. (10)
Таким чином, операція (що складається в диференціюванні з наступним множенням на), застосована до, підвищує в цьому виразі індекс на одиницю і змінює знак. Застосовуючи цю операцію раз, де - будь-яке натуральне число, отримуємо:
. (10 `)
Маємо:
;
В
Отже,
