у; a на другому місці, b на третьому; ...; a на (n -1)-му місці, b на n-му - таких випадків n-1. Однак можна попереду ставити b, а потім a - таких випадків також n-1, тобто існує 2 (n-1) випадків, коли a і b стоять поруч. Кожному з цих випадків відповідає (n-2)! перестановок. Використовуючи правило твори, шукане рішення можна записати у вигляді
.
Перестановка з повтореннями раніше переставлялися предмети, які були попарно різні. Якщо ж деякі переставляються предмети однакові, то виходить менше перестановок - деякі перестановки збігаються один з одним. У цьому випадку мова йде про перестановки з повтореннями. p align="justify"> Перестановкою з повтореннями складу з букв називають будь-який кортеж довжини в який буква входить раз, ..., буква - разів.
Приклад:
Є предмети k різних типів. Скільки перестановок можна зробити з n1 елементів першого типу, ..., nk елементів k-го типу? p align="justify"> Число елементів у кожній перестановці одно . Тому якби всі елементи були різні, то число перестановок дорівнювало б n!. Але через те, що деякі елементи збігаються, виходить менше число перестановок. Дійсно, візьмемо, наприклад, перестановку в якій спочатку вписані всі елементи першого типу, потім всі елементи другого типу, ..., нарешті, всі елементи k-го типу. Елементи першого типу можна переставляти один з одним способами. Але так як всі ці елементи однакові, то такі перестановки нічого не змінюють. Точно так само не міняють перестановок елементів другого типу, ..., перестановок елементів k-го типу.
Перестановки елементів першого типу, другого типу, і т.д. можна робити незалежно один від одного. Тому (за правилом твору) елементи перестановки можна переставляти один з одним способами так, що вона залишається незмінною. Те ж саме вірно і для будь-якого іншого розташування елементів. Тому безліч всіх n! перестановок розпадається на частини, які з однакових перестановок кожна. Значить число різних перестановок з повтореннями, які можна зробити з даних елементів, дорівнює
де .
безліч ймовірність математичний очікування
Отже, число перестановок з повтореннями можна підрахувати за такою формулою:
В
Завдання 3
У коробці є 14 лампочок, з як...
