ія. Нехай є функція від незалежної змінної, визначеної на множині з областю значень. Поставимо у відповідність кожному єдине значення, при якому. Тоді отримана функція, визначена на множині з областю значень називається зворотною.
2. Складна функція. Нехай функція є функція від змінної, визначеної на безлічі з областю значень, а змінна у свою чергу є функцією.
Найбільш часто використовуються в економіці такі функції.
1. Функція корисності і функція уподобань - в широкому сенсі залежності корисності, тобто результату, ефекту деякої дії від рівня інтенсивності цієї дії.
2. Виробнича функція - залежність результату виробничої діяльності від зумовили його чинників.
3. Функція випуску (приватний вид виробничої функції) - залежність обсягу виробництва від початок або споживання ресурсів.
4. Функція витрат (приватний вид виробничої функції) - залежність витрат виробництва від обсягу продукції.
5. Функції попиту, споживання і пропозиції - залежність обсягу попиту, споживання або пропозиції на окремі товари або послуги від різних факторів.
Якщо по деякому закону кожному натуральному числу поставлено у відповідність цілком певне число то говорять, що задана числова послідовність.
:
Числа називаються членами послідовності, а число - загальним членом послідовності.
Число називається границею числової послідовності, якщо для будь-якого малого числа знайдеться такий номер (залежний від), що для всіх членів послідовності з номерами вірно рівність. Межа числової послідовності позначається.
Послідовність має межа називається збіжної, в іншому випадку - розбіжної.
Число називається границею функції при, якщо для будь-якого малого числа знайдеться таке позитивне число , Що для всіх таких, що вірно нерівність.
Межа функції в точці. Нехай функція задана в деякій околиці точки, крім, можливо, самої точки. Число називається границею функції при, якщо для будь-якого, навіть як завгодно малого, знайдеться таке позитивне число (залежний від), що для всіх і задовольняють умові виконується нерівність. Ця межа позначається. p> Функція називається нескінченно малою величиною при, якщо її межа дорівнює нулю.
Властивості нескінченно малих величин
1. Алгебраїчна сума кінцевого числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.
2. Твір нескінченний малої величини на обмежену функцію є величина нескінченно мала
3. Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію межа якої відмінний від нуля, є величина нескінченно мала.
Поняття похідної і диференціала функції
Основні питання лекції: завдання, що призводять до поняття похідної; визначення похідної; геометричний і фізичний зміст похідної; поняття диференціюється; основні правила диференціювання; похідні основних елементарних функцій; похідна складної і зворотної функції; похідні вищих порядків, основні теореми диференціального числення; теорема Лопіталя; розкриття невизначеностей; зростання і спадання функції; екстремум функції; опуклість і увігнутість графіка функції; аналітичні ознаки опуклості і угнутості; точки перегину; вертикальні і похилі асимптоти графіка функції; загальна схема дослідження функції та побудова її графіка, визначення функції декількох змінних; межа і безперервність; приватні похідні і диференціал функції; похідна за напрямом, градієнт; екстремум функції кількох змінних; найбільше і найменше значення функції; умовний екстремум, метод Лагранжа.
Похідній функції називається границя відношення приросту функції до приросту незалежної змінної при прагненні останнього до нуля (якщо ця межа існує)
.
Якщо функція в точці має кінцеву похідну, то функція називається диференційованою в цій точці. Функція дифференцируемая в кожній точці проміжку, називається диференційованою на цьому проміжку.
Геометричний зміст похідної: похідна є кутовий коефіцієнт (тангенс кута нахилу) дотичній, приведеної до кривої в точці.
Тоді рівняння дотичної до кривої в точці прийме вигляд
.
Механічний зміст похідної: похідна шляху за часом є швидкість точки в момент часу:
Економічний зміст похідної: похідна обсягу виробленої продукції за часом є продуктивність праці в момент
Теорема. Якщо функція диференційовна в точці, то вона в цій точці неперервна. p> Похідна функції може бути знайдена по наступною схемою
1. Дамо аргументу прирощення і знайдемо розширене значення функції.
2. Знаходимо приріст функції. p> 3. Складаємо відношення. p> 4. Знаходимо межа цього відношення при, тобто (якщо ця межа існує). p> Правила диференціювання
1. Похідна постійної дорівнює нулю, тобто. p> 2. Похідна аргументу дорівнює 1, тобто. p> 3. Похідна суми алгебри кінцевого числа диференційовних функцій дорівнює такій же сумі похідних цих функцій, тобто.
4. Похідна добутку двох диференційовних...
