отеса [2]. p> Если Вузли вібрато з міркувань точності, а КОЕФІЦІЄНТИ - з міркувань зручності (ВСІ КОЕФІЦІЄНТИ однакові), то добудемо квадратурні формули, что носячи имя Чебішова [2].
Обгрунтування інтерполяційніх квадратурних формул будується на Наступний висновка [1].
Нехай на відрізку інтегрування якось зафіксовані Різні между собою Вузли, и будемо вібіраті позбав КОЕФІЦІЄНТИ () так, щоб формула (1.4) булу якомога точнішою. Пріпускаємо,, тоб функія и ВСІ ее похідні до порядку включно є неперервно на відрізку. Візьмемо квадратурні Вузли як Вузли інтерполяції (оскількі смороду ВСІ з відрізку інтегрування та ВСІ Різні между собою), та побудуємо інтерполяційній багаточлен для Функції. Будемо мати таку Рівність
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Розглянемо тепер інтеграл від Функції
(1.9)
підставімо (1.6), (1.7), (1,8) до формули (1.9)
(1.10)
Если позначіті
(1.11)
(1.12)
то інтеграл (1.10) можна переписати у вігляді
( 1.13)
Відкінувші у (1.13) похібку, добудемо набліжену формулу (1.4).
Означення. Квадратурна формула (1.4) будемо назіваті інтерполяційною, ЯКЩО квадратурні КОЕФІЦІЄНТИ, візначаються формулами (1.11). Нагадаємо, что квадратурні Вузли при цьом ВСІ Різні та ВСІ розташовані на відрізку інтегрування, в усьому Іншому смороду довільні.
Формула (1.12) візначає похібку інтерполяційної квадратурної формули. З похібкі видно, что алгебраїчній степінь точності інтерполяційної квадратурної формули дорівнює. Збільшити степінь точності можна позбав за рахунок Вибори вузлів.
Квадратурні формули при сталій ваговій Функції та з рівновіддаленімі Вузли назівають формулами Ньютона-Котеса у пам'ять того, что Вперше смороду в Достатньо Загальне вігляді були розглянуті Ньютоном, КОЕФІЦІЄНТИ Вперше були добуті Котес [4]. p> Кінечній відрізок інтегрування ділімо на рівніх частин Довжина, точки ділення беремо за Вузли інтерполяційної формули. Спростімо вигляд Квадратурна Коефіцієнтів,, Які візначаються формулою (1.11), підставівші туди
,.
Крім того перейдемо до Нової змінної інтегрування, де
Для Виконання всех ціх Дій спочатку розглянемо добуток у Формулі (1.11)
(1.14)
Підставімо добуток (1.14) до формули (1.11) та перейдемо до Нової змінної, будемо мати
(1.15)
Де
(1.16)
Квадратурна формула Ньютона-Котеса пріймає вигляд
(1.17)
Алгебраїчна степінь точності формули (1.17) дорівнює. КОЕФІЦІЄНТИ (1.16) назіваються коефіцієнтамі Котеса. Смороду мают Властивості:
. Дійсно, підставімо до формули (1.17), тоді, при цьом набліжена формула становится точною. Виконуємо інтегрування властівість доведена.
, тоб рівновіддалені від кінців КОЕФІЦІЄНТИ формули Ньютона-Котеса є о...
