стовпці матриці можна розглядати як її субматріци.
В§ 2 Операції над матрицями
Визначимо наступні операції:
Сума двох матриць, і з елементами і є матриця С з елементами, запишемо це як p> Твір матриці на число поля є матриця С з елементами, запишемо як.
Твір матриці на матрицю є матриця С з елементами, запишемо
полі скалярів, розглянемо, де елемент матриці, розташований в-рядку,-стовпці. Розмірність матриці. Якщо, то-квадратна матриця порядку. Безліч-це безліч всіх матриць над полем.
Опр. Дві матриці рівні, якщо вони мають однакову розмірність і на однакових місцях розташовані однакові елементи. Іншими словами: дорівнює матриці, т.е
Опр. Нехай-це матриці однакової розмірності. Сумою матриць і називається матриця у якої в рядку, стовпці розташований елемент, тобто . Іншими словами: Щоб скласти дві матриці потрібно скласти відповідні елементи:
Приклад:
Опр. Нехай,,. Твір скаляра на матрицю називається у якої в рядку, стовпці розташований елемент. Іншими словами: Щоб скаляр помножити на матрицю потрібно всі елементи матриці помножити на скаляр.
Визначення. Протилежної до матриці називається матриця
Властивості додавання і множення матриць на скаляри: p>-абелева група
1) Складання матриць асоціативно та коммутативно.
2)
3)
а)
б)
4)
Глава II p> В§ 1 Множення матриць p>,
,
Опр. Твором матриці на матрицю називається матриця. , Де
, де
Кажуть, що є скалярний твір-рядки матриці на-стовпець матриці.
, де
Приклад:
В§ 2 Властивості множення матриць p> Множення матриць асоціативно:
1), якщо визначені твори матриць і
Доказ:
Нехай, так як визначено, то й визначено, то
Визначимо матриці:
а)
б)
(1) матриці, тоді мають однакову розмірність
2) Покажемо, що на однакових місцях у матрицях розташовані однакові елементи
з рівності (1) (2), (3). Підставляючи (3) в (2) отримаємо:
, тоді (4), (5). Підставляючи (5) в (4) одержимо:
Висновок: Матриці мають однакову розмірність і на однакових місцях розташовані однакові елементи.
Множення матриць дистрибутивно:
Доказ:
оскільки визначено, то й визначено, то
розмірності
розмірності
Матриці мають однакову розмірність, покажемо розташування однакових елементів:
,
,
Висновок: На однакових місцях розташовані однакові елементи.
3. ,. Якщо визначені матриці, то доказ проводимо аналогічно властивості 2. p> 4. ,:, Якщо визначена матриця
Доказ:
. Нехай,
,,
5. Множення матриць в загальному випадку не коммутативно. Розглянемо це на прикладі:
, тоді
В§ 3 Техніка матричного множення p> полі скалярів,,
<...
