днієї змінної у, причому у змінюється від ординати точки P до ординати точки R. Точка P є точка входу прямої х = const (у площині Оху) в область D, а R - точка її виходу з цієї області. З рівнянь ліній АВС і АЄС випливає, що ординати цих точок при взятому х відповідно рівні і. p> Отже, інтеграл
дає вираз для площі плоского перерізу PMNR. Ясно, що величина цього інтеграла залежить від вибраного значення х; іншими словами, площа розглянутого поперечного перерізу є деякою функцією від х, ми позначимо її через S (х):
Відповідно до формули (**) обсяг усього тіла дорівнюватиме інтегралу від S (x) в інтервалі зміни. (При виведенні формули (**) ми вважали, що S (*) є геометрична площа поперечного перерізу. Тому подальші міркування справедливі , строго кажучи, лише для випадку. Грунтуючись на уточненому геометричному сенсі подвійного інтеграла, неважко довести, на чому ми не будемо зупинятися, що получающаяся формула для обчислення подвійного інтеграла буде вірна для будь-яких функцій.
Замінюючи в цій формулі S (x) її виразом, остаточно отримаємо
або в більш зручній формі
(А)
Межі внутрішнього інтеграла змінні; вони вказують межі зміни змінної інтегрування у при постійному значенні другого аргументу х. Межі зовнішнього інтеграла постійні; вони вказують межі, в яких може змінюватися аргумент х. p> Міняючи ролі х і у, тобто розглядаючи перетину тіла площинами y = const, ми знайдемо спочатку, що площа Q (у) такого перерізу дорівнює, де у при інтегруванні вважається величиною постійною. Інтегруючи потім Q (у) в межах зміни у, тобто від c до d, ми прийдемо до другого виразу для подвійного інтеграла
(Б)
Тут інтегрування відбувається спочатку по х, а потім по в.
. Формули (А) і (Б) показують, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до послідовного обчислення двох звичайних визначених інтегралів; потрібно тільки пам'ятати, що у внутрішньому інтегралі одна зі змінних приймається при інтегруванні за постійну. Для стислості праві частини формул (А) і (Б) називають повторними (або дворазовими) інтегралами, а сам процес розстановки меж інтегрування - приведенням подвійного інтеграла до повторного. p> Формули приведення подвійного інтеграла до повторного набувають особливо простий вигляд, коли область D є прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис.6). У цьому випадку стають постійними межі не тільки зовнішнього, а й внутрішнього інтегралів:
В інших випадках для відомості подвійного інтеграла до повторного необхідно насамперед побудувати область інтегрування; найкраще зобразити цю область прямо в площині Оху, як це зроблено на рис. Потім потрібно встановити порядок інтегрування, тобто намітити, по якої змінної буде проводитися внутрішнє інтегрування, а за якою - зовнішнє, і розставити межі інтегрування. p> Пояснимо на прикладах, як проводиться розстановка меж інтегрування.
а) Приклади.
В
1) Нав...
