br/>
. (4)
Змішаної стратегією другого гравця називається повний набір ймовірностей застосування його чистих стратегій на-му кроці гри в ігровому елементі. p> Очевидно, для повинні задовольнятися такі співвідношення:
. (5)
Змішана стратегія називається стаціонарною, якщо ймовірності застосування його чистих стратегій не залежать від кроку гри. Стаціонарні змішані стратегії записуються так:
,.
Оскільки середній виграш гравця залежить від того, з якої позиції починається гра, то і ціна гри залежить від цього. p> Позначимо через ціну гри, якщо першим кроком гри був ігровий елемент. Таким чином визначається вектор ціни гри. Кожному значенню відповідають оптимальні змішані стратегії гравців. p> Якщо вектор існує, то можна замінити ігровий елемент на, тобто виходить, що
В
де означає ціну гри з матрицею, а елементами будуть
. (6)
Тепер виникають наступні питання:
Чи існує вектор?
Єдиний Чи вектор?
Як знайти вектор і оптимальні стратегії?
На ці запитання дає відповідь наступна лема і теорема.
Лемма 1. Нехай матриці і порядку, що задовольняють умові
,
де - дійсне число, тоді.
Доказ. Нехай, - оптимальна стратегія другого гравця у грі з матрицею. Тоді для всіх
,
так що дає верхню межу програшу в грі з матрицею, яка менше.
Теорема 1. Існує в точності один вектор цін ігри, задовольняє співвідношенням
, (7)
де визначена за формулою (6).
Доказ. Покажемо спочатку єдиність. Припустимо, що існують два вектори і, що задовольняють співвідношенням (7). Нехай - номер компоненти, для якої
,
і нехай для визначеності. Визначимо дві матриці і наступними співвідношеннями:
,.
Очевидно,
.
З леми 1 випливає, що
.
Оскільки і задовольняють (6) і (7), то
,
що суперечить передумові і доводить єдиність.
Доведемо існування. Доказ конструктивне, засноване на побудові послідовності векторів, сходящейся до необхідному вектору. Нехай - номер члена послідовності. Визначимо члени послідовності наступнимиспіввідношеннями:
, (8)
, (9)
. (10)
Потрібно довести: 1) послідовність векторів сходиться; межа цієї послідовності задовольняє умовам (6), (7). Покладемо
. (11)
Оскільки виконується (2) і безлічі індексів кінцеві, то існує і.
Якщо покласти
,
то по лемі 1 випливає, що і, отже,. Тому згідно ознакою збіжності Коші послідовність має сходитись до межі, який позначимо через. p> Нехай тепер
,
де
.
Покажемо, що для всіх. Дійсно, на підставі збіжності послідовностей для будь...
