-якого можна вибрати настільки великим, що для всіх виконувалися нерівності:
, (12)
. (13)
З (12) і леми 1 випливає, що для всіх
,
а це разом з (13) означає, що для всіх
.
Оскільки довільно, те, що й потрібно було довести.
Використовуючи конструктивний спосіб доведення теореми 1, можна побудувати апроксимацію цін ігрових елементів наступним чином: припустимо, що гра буде продовжуватися як стохастична, поки не буде розіграна раз, а потім її необхідно закінчувати (якщо вона не закінчилася природно раніше), тоді отримаємо усічену гру на розорення, а не стохастичну гру. Вирішивши її відомими методами, отримаємо вектор цін і оптимальні стратегії в матричних іграх з матрицями. Число, певне формулою (11), володіє тим властивістю, що ймовірність продовження гри більш кроків, які б стратегії не використовувалися, не перевищує (тут у ступеня). Тому, якщо досить велике, то мало, і ми можемо апроксимувати стохастичну гру грою, усіченої після кроків. Оптимальні стратегії і зрізаних ігор сходяться до оптимальних стаціонарним стратегіям стохастичною гри. br/>
2. Завдання В«Герб - РешіткаВ»
Гравці 1 і 2 мають разом п'ять одиниць. На кожному кроці гри гравець 1 вибирає або В«гербВ», або В«гратиВ»; гравець 2, не знаючи вибору гравця 1, робить аналогічний вибір. Якщо вибори збігаються, гравець 2 платить гравцеві 1 або три, або одну одиницю залежно від того, що було вибрано, В«гербВ» або В«решіткаВ». Якщо вибори не збігаються, гравець 1 платить гравцеві 2 дві одиниці. Після кожного кроку кидається монета для того щоб визначити, продовжувати гру або закінчити її; крім того, гра закінчується, як тільки один з гравців розориться. Ми накладаємо ще додаткова умова, яке у тому, що жоден гравець не може платити більше, ніж він має. p> Розглянута гра може бути представлена ​​чотирма ігровими елементами, де - величина капіталу, яку має перший гравець на початку даного кроку:
,,
,.
Дійсно. Розглянемо, наприклад, перший вираз. У першого гравця є одна одиниця: якщо він виграє 3 одиниці, то він може розіграти 4 одиниці з імовірністю 0,5 (цьому відповідає елемент матриці ігрового елемента; якщо він програє свою одиницю, то він розориться, і гра закінчується (це відповідає елементам і матриці ігрового елемента); якщо він виграє одну одиницю, то у нього стане 2 одиниці капіталу, він може продовжувати гру з ймовірністю 0,5 (це відповідає елементу ігрового елемента). Аналогічно пояснюються і інші ігрові елементи,,.
Використовуючи для цієї гри формули (8), (9), (10) і в якості початкового наближення, отримаємо 1-е наближення для,,,, позначені відповідно,,,, замінюючи які в матрицях,,, значеннями ціни ігри, отримаємо:
,,
,.
Вирішуючи ці ігри, знайдемо вектор. Наприклад, для ціни гри з ігровим елементом отримаємо рівняння:
В
де - й...
